TROISIÈME PARTIE

venant à recevoir un accroissement infiniment petit, les accroissements des autres variables sont déterminés par le premier, en sorte que tous ces infiniment petits dépendent les uns des autres. Dès lors on peut concevoir que leur valeur soit rapportée à celle de l’un d’eux choisi arbitrairement pour terme de comparaison, et qu’on appelle par ce motif infiniment petit principal *.

Quand la question comporte plusieurs variables indépendantes, les accroissements de ces variables peuvent avoir simultanément des valeurs arbitraires, et il en résulte autant d'infiniment petits indépendants ou principaux. Mais comme rien n’empéchc de supposer une relation quelconque entre eux, d’admettre, par exemple, qu’on augmente toutes les variables de quantités égales ou proportionnelles,, on se retrouve, si l’on veut, dans le même cas que lorsqu’on a un seul infiniment petit principal. l e plus souvent on ne fait aucune hypothèse particulière sur les valeurs relatives des divers infiniment petits indépendants : on se borne à admettre tacitement qu’ils appartiennent au même ordre de grandeur, expression dont nous verrons tout à l’heure la signification.

Si nous comparons avec l’infiniment petit principal tous les autres infiniment petits qui figurent dans la même question, nous reconnaîtrons que les rapports tantôt convergent vers des limites finies, tantôt convergent vers zéro.

* Comme on prend ordinairement pour intlniment petit principal l’accroissement de la variable indépendante, le terme d’intlnimcnt petit indépendant seraitmieux choisi, en ce qu’il rappellerait que la grandeur en est arbitraire et que celle des autres infiniment petits en dépend nécessairement. Toutefois, la désignation de principal ayant prévalu, nous l’avons adoptée nous-méme.

MÈTIIODE INFINITÉSIMALE.

C’est ainsi que le rapport de l’accroissement de l’ordonnée d’une courbe à l’accroissement de l’abscisse tend vers une limite finie, qui est la valeur de la tangente trigonométrique de l’angle formé par la tangente à la courbe avec l’axe des abscisses. De même les accroissements des ordonnées de la courbe et de la tangente ont un rapport qui a pour limite l'unité ; tandis que la partie de l’ordonnée interceptée entre la courbe et la tangente, comparée avec l’ordonnée entière, soit de la courbe, soit de la tangente, fournit un rapport dont la limite est zéro.

On conçoit, du reste, d’une manière générale, que a désignant un infiniment petit quelconque, pris pour terme de comparaison, les quantités Ma, M-a 2 , Ma 5 ,.... (M étant une quantité finie , fixe ou variable) sont aussi infiniment petites’, puisqu’elles ont toutes pour limite zéro ; mais leurs rapports avec l’infiniment petit principal a tendent vers des limites différentes. Le rapport de Ma à a est représenté par M, qui, par hypothèse, a une valeur finie; celui Ma 2 à a a pour limite zéro, puisqu’il est égal à Ma; à plus forte raison en est-il ainsi des rapports de Ma 5 , M a 4 , etc., etc. Tous les infiniment petits supérieurs à Ma, comparés avec l’infiniment petit principal, fournissent des quotients qui convergent vers zéro, mais qui n’y convergent pas de la même manière, puisque l’un y arrive par l’expression Ma, l’autre par l’expression Ma 2 , etc. , etc. Nous sommes dès lors conduit à distinguer non-seulement entre les infiniment petits dont les rapports avec le principal tendent vers des limites finies et ceux dont les rapports tendent vers zéro, mais encore, parmi ces derniers, ceux qui y arrivent par diverses puissances de a. Celte nouvelle distinction est très-logique, car deux