TROISIÈME PARTIE

infiniment petits tels que Ma’ et Na 5 ne sont pas dans les mêmes relations que Ma* et Ma’, puisque les deux premiers, tout en ayant avec ('infiniment petit principal des rapports qui tendent vers zéro (Ma et Na), sont entre

eux dans un rapport fini tandis que le quotient de

Ma’ par Ma 5 est un infiniment petit a.

De là, diverses catégories d'infiniment petits, établies relativement à celui qu’on choisit pour terme de comparaison.

52. — On nomme infiniment petit du premier ordre celui dont le rapport avec l'infiniment petit principal converge vers une limite finie 1 .

Ainsi a désignant l'infiniment petit principal, tout autre infiniment petit 6 sera dit du premier ordre, si l’on a :

lim - = M ;

M étant une quantité finie.

’ On remarquera que nous disons converge vers une limite finie , et non o un» valeur finie; parce que généralement le rapport de deux infiniment petits varie à mesure qu’ils décroissent, au lieu d'étre indépendant de la grandeur absolue qu’on leur attribuerait à un moment donné. Ainsi le rapport d’un arc de cercle & sa corde tend vers l’unité, mais ce rapport n’a pas la même valeur selon que l’arc est supposé deux fois plus grand ou deux fois plus polit. Ce qu’il y a lieu de considérer c’est donc la limite vers laquelle converge le rapport des infiniment petits , à mesure qu’on les ramène vers zéro. On rencontre quelques cas où le rapport des infiniment petits est Indépendant de leur grandeur absolue : ainsi, dans un cercle, le rapportée l’arc à l’angle au centre correspondant. Mais- ces exceptions n'inürmcnt point la convenance de la définition générale que nous avons adoptée, puisqu’eh ces cas particuliers la limite du rapport des infiniment petits se trouve simplement atteinte dès l’origine.

MÉTHODE INFINITÉSIMALE

On en déduit :

étant une quantité qui converge vers zéro en même temps que x , ou qui est infiniment petite par rapport à M.

Il résulte que

sera l’expression d’un infiniment petit quelconque du premier ordre. Tous ceux du même ordre ne différeront que par la valeur de M.

On nomme infiniment petit du second ordre celui dont le rapport avec Infiniment principal a pour limite un infiniment petit du premier ordre ; c’est-à-dire que y étant du second ordre, on doit avoir :

lim - = « M ,

M étant une quantité finie; d’où

o désignant, comme précédemment, une quantité infiniment petite par rapport à M.

D’après cela,

152 TROlSltME PARTIE.

sera l'expression d’un infiniment petit quelconque du second ordre.

D’une manière générale, l'infiniment petit du n*”“ ordre est celui dont le rapport avec l'infiniment petit principal est de l’ordre n — 1 ; et son expression est

« = (M + iî) .

53. — Un remarquable exemple d’infiniment petits de divers ordres est fourni parle tableau des dérivées successives d’une fonction. La dérivée de l’ordre w est égale à la A" u

limite du rapport • Les quantités Ar" , A"y sont des

infiniment petits de l’ordre ».

Aussi pcul-on dire qu’une dérivée quelconque implique la considération d’infiniment petits du même ordre que celui de la dérivée.

Une particularité qui parait assez surprenante au premier abord, c’est que les différences successives des accroissements conduisent à des infiniment petits d’ordres de plus en plus élevés. Oq ne voit pas immédiatement pourquoi , par exemple, la différence seconde ou A 2 y est un infiniment petit du second ordre ; car cette quantité résulte de la différence prise entre deux différences premières A y et Ay 4 , qui sont des infiniment petits du pre- .mier ordre. Or, la différence de deux quantités esj, en général de la même catégorie de grandeur que ces quantités : il semble donc que A 2 y devrait être du même ordre que Ay.

Cette difficulté disparaît si l’on remarque que les quantités dont on prend ici la différence ne sont pas des quantités

MÉTI10DE INFINITÉSIMALE.

indépendantes l’une de l’autre, mais assujetties, ail contraire, à cette loi de génération d'étre les accroissements d’une même fonction correspondant à des valeurs infiniment voisines de la variable. L’accroissement d’une fonction étant sensiblement égal au produit de la dérivée par l’accroissement de la variable, les accroissements dont il s’agit ne diffèrent entre eux que d’une quantité égale au produit de l’accroissement de la variable par la différence des valeurs de la dérivée correspondant aux valeurs infiniment voisines de la variable. Or, la différence des dérivées est infiniment petite : celle qui existe entre les accroissements est donc un infiniment petit du second ordre. C’est la même observation qui se présente pour la différentielle et l’accroissement d’une fonction : ces deux quantités sont des infiniment petits simples; mais leur différence est du deuxième ordre.