TROISIÈME PARTIE

jours infiniment petilc, la différence des deux limites, — qui ne pourrait surpasser la différence des variables, augmentée des différences de ces variables avec leurs limites, — serait elle-même infiniment petite. Or, les limites étant des quantités fixes, et leur différence étant infiniment petite, elles sont rigoureusement égales, en vertu de la proposition précédente.

On petit dire aussi que le rapport des deux variables entre elles tend vers l'unité à mesure que ces variables convergent vers leurs limites.

Conséquence/).

Si deux infiniment petits du premier ordre ne diffèrent que d’un infiniment petit d’ordre supérieur, leurs rapports avec ['infiniment petit principal convergent vers la môme limite.

En effet, d’après la définition môme des infiniment petits de divers ordres, les rapports dont il s’agit représentent des quantités variables tendant vers des limites finies; et, d’autre part, le rapport de l’infiniment petit d’ordre supérieur, qui représente leur différence, à ['infiniment petit principal, est lui-même infiniment petit. Nous rentrons ainsi dans le cas de la proposition précédente, de deux variables finies qui ont une différence infiniment petite.

Ce que nous disons là des rapports avec l’infiniment petit principal s'applique aussi bien aux rapports avec un infiniment petit quelconque du môme ordre ; car ces derniers rapports convergent également vers des limites finies.

MÉTHODE INFINITÉSIMALE

La même conséquence peut s’étendre à deux infiniment petits d’ordre quelconque, qui ne différeraient que d’un infiniment petit d’ordre supérieur, et dont on prendrait le rapport avec un troisième infiniment petit du même ordre.

On peut énoncer ces conséquences autrement, eu disant que le rapport de deux infiniment petits, dont la différence est d’un ordre supérieur, a pour limite l’unité.

De ce qui précède résulte encore ceci :

Toutes les f<5is qu’on se propose de passer aux limites de deux variables finies, ou aux limites des rapports d’infiniment petits d’un même ordre, on a toujours le droit de supprimer l’infiniment petit d’ordre supérieur qui représente la différence, parce que son influence disparaît nécessairement quand on passe aux limites des variables ou des rapports. En un mot, bien que les variables ou les rapports aient entre eux des différences certaines, on peut toujours agir comme si l’égalité parfaite avait lieu ; à la condition, je le répète, qu’on se propose de passer aux limites de ces quantités.

Troisième proposition.

50. — Si l’on a deux sommes d’infiniment petits d’un certain ordre, convergeant chacune vers une limite finie, et telles que les infiniment petits de l’une ne diffèrent respectivement des infiniment petits de l’autre que de quantités infiniment petites d’ordre supérieur, les limites de ces deux sommes sont nécessairement égales.

Puisque les infiniment petits des deux sommes ne diffè-