TROISIÈME PARTIR

rent, chacun de chacun, que d’un infiniment petit supérieur, leur rapport tend vers l’unité. Or, on sait, d'une manière générale, que si l'on prend une suite de rapports dont les numérateurs et les dénominateurs soient tous positifs, la somme des numérateurs, divisée par la somme des dénominateurs, fournil une fraction dont la valeur tombe entre le plus petit et le plus grand des rapports donnes*. Dans le cas qui nous occupe, chacun des rap-

' Il est très-facilcde s’en rend recompte. Soit les fractions

ni . , . , a c e m

—, que je suppose rangées par ordre de grandeur : 7 < 7 < 7 < — ■

Je prends d’abord les deux premières, et je dis que — — ■ sera plus grand

que - et moindre que - . En elTet, soit un autre rapport - égal a - ; il est

évident que ° • • sera égal à 7 . Puisque ~ surpasse 7 , et par suite

, il faut que c soit plus grand que c'. Donc est plus grand que

'' ^ ^ , et par conséquent plus grand que On verrait de la même ma

nière qu’en ajoutant - A - on forme un rapport moindre que -y . La

proposition étant ainsi établie pour deux fractions, on l’étend sans peine à ulîc troisième j . Car soit j un autre rapport égal à • H est clair

que — — ; — -r sera encore égal à —-7 . Mais puisque - est , par hypob + dq- f b + a f

thèse plus grand que ^ , qui est plus grand que , il s’ensuit que j

est plus grand que ou que -. Donc e surpassée et dès lors — — — —

surpasse : ou . A plus forte raison ce rapport surpasse-t-il

- . On verrait de même qu’il est moindre que - ; et ainsi de suite pour un nombre quelconque de fractions.

MÉTHODE INFINITÉSIMALE

ports converge vers l’unité : le rapport des sommes doit y converger aussi. Ces sommes ont donc la même limite.

Conséquence.

Dans les calculs où se présenteraient effectivement des sommes telles que nous venons de les supposer, on pourrait supprimer immédiatement les infiniment petits de l’ordre supérieur, — à la condition, bieu entendu, qu’on se propose de passer aux limites de ces sommes ; — car l’erreur qu’on introduit dans les équations en faisant disparaître un de leurs éléments, cesse d’avoir aucune influence quaud on passe aux limites elles-mêmes.

Quatrième proposition.

57. — Dans toutes les questions où l’on cherche la limite d’un rapport ou la limite d’une somme d’infiniment petits, on peut, sans altérer la valeur des limites, remplacer chaque infiniment petit par un autre qui n’en diffère que par un infiniment petit d’ordre supérieur, ou dont le rapport avec le précédent converge vers l’unité.

Cet important théorème, qu’on peut nommer Principe de substitution des quantités infinitésimales , est une conséquence directe des deux propositions que nous venons d’établir. Nous savons en effet que des infiniment petits qui diffèrent seulement par un infiniment petit d’ordre supérieur , donnent lieu à des rapports ou à des sommes qui convergent vers les mêmes limites. En faisant.