TROISIÈME PARTIE

arbitraires. La limite d’un membre d’équation étant égaie à la somme des limites de ses divers termes, ce que nous venons de dire pour l'équation prise en bloc s’applique à chaque terme isolément. Ainsi les divers termes de l'équation, qui ont des limites finies, peuvent être altérés de quantités infiniment petites, d’une manière tout à fait arbitraire. On peut notamment, si ces termes se présentent sous forme de limites de rapports, en altérer le numérateur et le dénominateur de quantités infiniment petites relativement à eux-mêmes : puisque d’après la 4 e proposition (N® 57) la valeur de la limite n’est pas changée. Des altérations analogues sont permises, d’après la mémè proposition, si les termes affectent la forme de limites de sommes. Celte faculté permet en certaines circonstances de se débarrasser, par des suppressions pures et simples ou par des substitutions, d’une multitude de termes qui compliquent inutilement les équations finales, en entravent le calcul, et masquent les véritables relations qu’elles expriment.

Si les membres d’une équation tendent à s’annuler avec l’infiniment petit principal , c’est que leurs divers termes sont infiniment petits. Je dis que dans ce cas on peut supprimer immédiatement tous les infiniment petits autres que ceux dont l’ordre est le moins élevé. En effet, une équation dont les deux membres ont pour limites zéro n’est pas destiuée à rester sous cette forme, car elle fournirait l’identité insignifiante o = o . Mais elle doit réellement conduire à des quantités finies, soit en divisant tous les termes par un même infiniment petit, soit en faisant la somme d’une infinité d’équations analogues. Si, par exemple, l’ordre le moins élevé est le premier, il est clair qu’en

MÉTHODE INFINITÉSIMALE

divisant par un infiniment petit de cet ordre, les termes du premier ordre fourniront des rapports finis, et tous les autres des rapports infiniment petits, lesquels, d'après ce qui précède, pourront être négligés. Si l’ordre le moins élevé était le second, on diviserait par un infiniment petit du second ordre, et tous les termes de degrés supérieurs donneraient des quantités infiniment petites. Ainsi, d’une manière générale, on peut supprimer dans l’équation proposée tous les infiniment petits autres que ceux de l'ordre le moins élevé; ou, ce qui revient au même, altérer ceuxci d'une quantité infiniment petite par rapport à euxmêmes. En vertu de ce principe, si l’on avait, je suppose, à substituer dans l’équation la valeur d’un infiniment petit donnée par une série de termes de divers ordres, on se contenterait d’écrire ceux de l’ordre le moins élevé 1 .

Les considérations qui précèdent s’appliquent aux équations finales, c’est-à-dire à celles pour lesquelles il ne reste plus qu'à passer aux limites des quantités variables qu’elles renferment. 11 est facile de pousser plus loin celte simplification.

Le plus souvent, les équations finales ne s’obtiennent pas directement, et l’on y parvient après une succession d’équations intermédiaires, dans lesquelles sont engagées,

1 C’est ce qui arriverait , par exemple , si l’on avait à remplacer, dans l’équation finale , l’accroissement a y par sa valeur en fonction de l’accroissement de la variable indépendante :

A y = f(») A* +tf + (*) —

on pourrait se borner à écrire f'{x) ai à la place de a y.