TROISIÈME PARTIE

sous diverses formes, les quantilés variables dont il y aura lieu plus tard de rechercher les limites. Avec ces quantités se trouvent en même temps des infiniment petits, d’ordres supérieurs, destinés à disparaître dans le passage aux limites, et dont nous venons de voir comment la suppression pouvait être opérée, purement et simplement, dans l’équation finale. Mais puisque ces infiniment petits, disonsnous, doivent diparaitre, quelle nécessité de les traîner en quelque sorte dans tout le cours du calcul ? N'est-î! pas plus naturel et plus commode d'effectuer la suppression au fureta mesure que l'occasion s’en présente, c’est-à-dire dès que les éléments inutiles apparaissent dans les formules? Les équations intermédiaires qui auront été l’objet de pareilles simplifications seront nécessairement inexactes; mais celte inexactitude n’est autre que celle qu’on aurait fait naître en opérant uniquement sur les équations finales ; et nous avons va que de telles erreurs perdent leur influence, ou plutôt cessent d’être des erreurs , dès que le passage aux limites est effectué.

59. — C’est dans ce genre de simplifications (des équations intermédiaires) qu’il convient d’apporter la plus grande circonspection pour ne pas risquer de compromettre la rigueur du résultat final. 11 faut être bien assuré que la simplification faite en passant aurait pu être légitimement réalisée dans les équations dernières. Supposons, par exemple, que des quantités finies, qui figurent dans des relations intermédiaires, soient destinées à s’évanouir, par des compensations encore inaperçues, d ms l'équation définitive, en sorte que celle-ci ne doive renfermer réellement que des infiniment petits de divers

MÉTHODE INFINITÉSIMALE

ordres. Les simplifications légitimes consisteront évidemment à supprimer tous les infiniment petits supérieurs à ceux du premier ordre et à conserver ces derniers. Si dans une équation intermédiaire on a eu à la fois des quantités finies et des infiniment petits du premier ordre, et si, dans l’ignorance où l’on est encore de la future disparition des quantités finies, on supprime à côté d’elles les infiniment petits, on ne retrouvera plus dans l’équation finale les véritables éléments qui devraient s’y rencontrer, et dès lors la valeur des limites ne pourra pas être obtenue *.

Il est impossible de fixer aucune règle générale pour prévenir ce danger. C'est avec une grande habitude de l’analyse qu’on en arrive à cette sorte d’intuition qui fait discerner si telle ou telle suppression dans le cours des calculs est de nature à engendrer une erreur. Cette sûreté de coup d’œil est moins difficile à acquérir qu’on ne pourrait le supposer au premier abord. Malgré la diversité des questions, les infiniment petits dont on fait usage sont généralement, les uns vis-à-vis des autres, dans des rapports de grandeur connus à l’avance. Quand on traite, par exemple, un problème de géométrie, on est presque toujours amené à la considération de quelque triangle in-

1 C’est un cas semblable qui sc produirait si , rencontrant à la fois dans une équation intermédiaire l’accroissement infiniment petit d’une quantité, diminué de sa différentielle, et des infiniment petits d’ordres supérieurs, on supprimait ees derniers par rapport à l’accroissement et à la différentielle, qui sont du premier ordre. La différence entre ce3 deux éléments constitue en réalité un infiniment petit du second ordre, en présence duquel on n’a pas le droit de négliger ceux qui se trouvent dans la même relation. ,