DE L’EMPLOI DES DIFFÉRENTIELLES POUR SIMPLIFIER LES FORMULES

63. — Nous avons vu, d’une manière générale, que la simplification des équations infinitésimales était basée sur la faculté de supprimer les termes d'ordres supérieurs, ou, ce qui revient au même, sur la faculté de substituer l’une à l’autre deux quantités dont la différence est infiniment petite par rapport à ces quantités mêmes ou dont le rapport a pour limite l'unité. Mais nous n’avons pas indiqué quelles sont les substitutions qu’il convient de faire pour obtenir les plus grandes simplifications. La nature de ces substitutions varie, en effet, d’un problème à l’autre, et ceux que nous traiterons plus tard montreront précisément comment on fait usage du principe dans chaque cas

MÉTHODE INFINITÉSIMALE

particulier. Toutefois, il y a une substitution d’un usage tout à fait général et d’un effet assuré, que nous devons par conséquent indiquer indépendamment des questions particulières, laquelle consiste à remplacer toujours l'accroissement infiniment petit d’une variable par sa différentielle.

Cette substitution est évidemment légitime, puisque la différentielle ne diffère de l’accroissement que par un infiniment petit du second ordre. Je dis en outre qu’elle est de nature à fournir les plus grandes simplifications 1 , et même que la différentielle est la plus simple des quantités par lesquelles l’accroissement d’une fonction puisse être remplacé.

En effet, toute quantité propre à ce remplacement doit satisfaire à la condition que son rapport avec l'accroissement de la fonction et, par suite , avec toutes les autres quantités aptes à le remplacer, ait pour limite l’unité. Le rapport de chacune d’elles avec l’accroissement de la variable indépendante tend donc vers la même limite. Mais la différentielle de la fonction étant égale au produit de la dérivée par l’accroissement de la variable indépendante, son rapport avec cet accroissement est égal à la dérivée,

1 Si l’on jette les yeux sur l’expression de l’accroissement , d’après la série de Taylor

A y = f'(x)dx+f"{x) + j + ... ,

on voit que la substitution de f (x) dx à ày fait disparaître toute la suite