PREMIÈRE PARTIE

naturelles, que nous sommes impuissants à exprimer sons une forme analytique; ce ne sont pas là de véritables équations, et nous n’avons pas à nous en occuper ici *.

Toute fonction implique une équation ; et, inversement, toute équation implique une fonction : ou plutôt c'est une seule et même idée sous des termes différents.

Les deux quantités, fonctions l’une de l’autre, étant liées par une seule équation, peuvent recevoir chacune une infinité de valeurs différentes; à la condition que ces valeurs . satisfassent toujours à l’équation donnée. Pour ce motif on donne aux quantités le nom de variables. Celle qu’oti*’

1 « On se forme ordinairement une idée beaucoup trop vague de ce que « c’ést qu’une équation lorsqu’on donne ce nom à toute espèce de rcla- « lion d'égalité entre des fonctions quelconques des grandeurs que J’on « considère. Car si toute équation est évidemment une relation d’égalité,

« il s'en faut de beaucoup que, réciproquement, toute relation d’égalité soit « une véritable équation, du genre de celles auxquelles, par leur nature,

« les méthodes analytiques sont applicables

« Il y a là nn \1cc logique qu’il importe beaucoup de rectifier.

« Pour y parvenir je distingue d’abord deux sortes de /onctions .• les « fondions abstraites, analytiques, et les fondions concrètes. Les pre- « mlèrcs peuvent seules enlrerdans les véritables équations, en sortequ’on « pourra désormais définir, d’une manière exacte et suffisamment appro- « fondie, toute équation une relation d’égalité entre des fonctions « abstraites des grandeurs considérées.

« Les fondions que j’appelle abstraites sont celles qui expriment entre o des grandeurs un mode de dépendance qu’on peut èoriéevùir unlque- « ment entre nombres, sans qull soit besoin d’indiquer aucun phénomène « quelconque où il se trouve réalisé. Je nomme, au contraire, fonctions « concrètes celles pour lesquelles le mode de dépendance exprimé ne peut « être défini ni conçu qu’en assignant un cas physique détermfnë, géo- « métrique, mécanique ou de toute autre nature, dans lequel U ait efi'ec- « livcmenHieu.

« La plupart des fonctions, à leur origine, celles même qui sont au- • jourd’bui le plus purement abstraites , ont commencé par être con-

NOTIONS FONDAMENTALES

choisit pour la faire varier directement, d’une manière arbitraire, est dite variable indépendante ; et l’autre, qui varie en conséquence des valeurs attribuées à la première, est nommée variable dépendante. C’est üt celle-ci que s’applique plus particulièrement la qualification de fonction : lorsqu’on dit que la variable y est fonction de la variable x , H est sous-entendu que la variable x est prise comme indépendante relativement à y ; si c’était le contraire qUf avait fieu, on aurait soin d’en avertir expressément.

On nomme fonction explicite celle qui provient de la résolution de l’équation par rapport à la variable dépendante'; et fonction implicite celle qui est contenue dânS une équation non encore résolue *7 La fonction implicite est de sa nature essentiellement

transitoire et doit être considérée, dans un calcul, comme

« crêtes; en sorte qu’il est aisé (le faire comprendre la distinction « précédente, en se bornant A citer tes divers points dë vue successif sous ■ lesquels, à mesure que la science s’est formée, les géomètres ont consi- « déré les fonction* analytiques les plus simples. J'indiquerai , par « exemple, les puissances, devenues en général fonctions abstraites depuis « seulement les travaux de Viëte et de Descartes, des fondions **,

«. qui, dans autre analyse actuelle, «ont ai bien conçues comme simple - « ment abstraites, n’étaient, pour les géomètres de l’antiquité, que des « fondions entièrement concrètes, exprimant la relation de la superficie • d’un carré où du volume d’un cube à la longueur de leur côté. »

Auguste Comte, Cours (te philosophie positive, t. I", p. 122.1 1 Par exemple, dans l’équation de l'ellipse,

l’ordonnée y, considérée comme variable dépendante, est une fonction implicite de l’abscisse x. Si l’on résolvait par rapport à y, la nouvelle équation * ’ ■ ’

représenterait une fonction explicite de s.

TREMltRË PARUE.

devant être ramenée lot ou tard à lu forme explicite. C’est ce qui résulte du choix même d’une variable indépendante : pour que la valeur corrélative de la variable dépendante soit obtenue, il faut que l’équation puisse être résolue par rapport à cette dernière.

2. — Théoriquement toute équation peut être résolue ou du moins conçue comme résolue par rapport à l’une quelconque des variables qui y figurent, llien n’empêche, par conséquent, de prendre pour variable dépendante celle à laquelle il plaît de faire jouer ce, rôle, et de considérer l’autre variable comme indépendante. Mais celte faculté, illimitée en théorie, est restreinte, dans la pratiqué, par la convenance de laisser aux quantités leur rôle naturel ; je veux dire par là qu’on doit leur attribuer dans le calcul une situation en harmonie avec leur signification concrète. Ainsi, quand je dis que l’espace parcouru par un corps tombant librement dans le vide est une fonction de la durée de la chute , je pourrais à coup sur, au point de vue de la pure analyse, renverser les rôles et dire que la durée de la chute est une fonction de l’espace parcouru. Mais cette manière de présenter la loi du phénomène heurterait le jugement. La nature des choses nous indique que la variable véritablement indépendante, — car elle varie indépendamment de nous, de nos expériences et de nos mesures, — c’est le temps, et que l’espace parcouru augmente en conséquence des augmentations de la durée. De même je pourrais dire que le rayon d’un cercle est fonction de sa surface, puisque la surface étant assignée, le rayon s’ensuit nécessairement. Mais ici, à la vérité, si je ne heurte pas aussi directement les données physiques, je ne

NOTIONS FONDAMENTALES

laisse pas de contrarier les notions résultant d’une habitude journalière ; car j’ai appris que la détermination du rayon, étant plus simple que celle de l’aire du cercle, la précède ordinairement, ou en est indépendante, et que réciproquement, celle-ci doit être envisagée comme dépendant de cellelà.

C’est pour le même motif que dans les équations auxquelles en attribue une signification géométrique, ou qui représen lent des courbes, on prend l’abscisse pour variable indépendante, de préférence à l’ordonnée : parce cjÜe l’axe des abseisses figure une base horizontale et celui des or- r données uue base verticale. t)r, nous savons par expérience qu’ü est plus facile , et par conséquent plus naturel de compter d’abord horizontalement les distances, et de porter ensuite au-dessus la longueur qui doit marquer la hauteur du point. Si l’on voulait agir inversement, c’està-dire mesurer d’abord la hauteur, et mener ensuite, par l’extrémité de cette hauteur, une ligne horizontale, on éprouverait le plus souvent, dans l’ordre physique, de trèsgrandes difficultés.

Ces considérations, qui doivent toujours guider pour le choix de la variable indépendante , sont d’ailleurs , je le répète, sans aucune influence sur le calcul envisagé abstraitement. Il est loisible, pour la plus grande commodité des opérations analytiques, d’alterner les rôles, à volonté, entre les variables de la question.

3. — L’équation qui relie les variables contient d’autres quantités qui restent les mêmes, quelles que soient les valeurs attribuées aux variables. Ainsi, dans l’équation qui exprime l’pire du cercle en fonction du rayon, figure le