PREMIÈRE PARTIE

nombre ir (3, 1M5926. qui ne varie pas avec le rayon ; dans l'équation qui exprime la hauteur parcourue en fonction de la durée de la chute, ligure le nombre y (9,808....), qui ne varie pas aux divers moments du phénomène.

Il est même facile de comprendre qu’aucune équation ne saurait subsister entre deux variables, sans la présence d’une ou plusieurs quantités constantes, Car à moins de supposer une relation aussi simple que celle-ci : y =r, la fonction de a? qui représente (explicitement ou implicitement^ la valeur de y, nécessite pour sa formation le concours de certaines quantités numériques, qui affectent la variable x de diverses maniérés, soit comme multiplicateurs, soit comme exposants, soit comme bases de puissance-, etc. -o ’

Les quantités constantes sont simplement appelées const mites ou paramètres *. Un les désigne par les premières lettres de l’alphabet a. A, c,.... tandis que leB variables sont désignées par les dernières x, y, z , Ces para-

mètres représentent toujours îles nombres, connus ou inconnus, nrâis absolument indépendants des 'valeurs quelconques attribuées aux variables. - -

U. — Une quantité pent être fonction de plusieurs variables indépendantes. Le volume d’un cylindre, par exemple, dépend à la fois de sa hauteur et du rayon de sa base. L’espace parcouru par un mobile, sous l'influencé d’une force agissant en ligne droite, dépend non-seulement du temps écôttlé, mais aussi de l’intensité de la force motrice. Si le mobile se mouvait dans un milieu résistant

1 Ce terme est emprunté 11 la théorie des sections coniques.

NOTIONS FONDAMENTALES

comme l’eau ou l’air, cet espace dépendrait en outre de la résistance du milieu. Sans multiplier les exemples, on comprend qu’on puisse être conduit à considérer des fonctions d’un nombre quelconque de variables indépendantes. Os variables sont susceptibles de recevoir chacune une indnité de valeurs arbitraires, et la fonction, de son côté, prend des valeurs en conséquence. L’indétermination se trouve encore plus grande que dans les équations à deux variables, puisqu’on dispose à volonté des valeurs simttl • tances de plusieurs quantités.

'Un applique d’ailleurs aux fonctions de plusieurs va riables les mêmes 'dénominations qu’aux fonctions d’une seule; on y distingue des constantes et dGS variables, des fonctions explicites et des fonctions implicites, etc., etc.

8. — Nous avons supposé jusqu’à présent la dépendance immédiate, c’est-à-dirc établie directement par une cqua- * lion entre la variable dépendante et les variables indépendantes. Cette corrélation petit être médiate ou indirecte, c’est-à-dire réalisée par l’intermédiaire d’autres équations et d’autres variables, qui ne servent en quelque sorte que de traits d’union entre celles dont on s’occupe véritablement. Ainsi, dans les exemples cités en commençant, on pourrait dire que la surface du cercle est fonction du périmètre, lequel à son toilr est fonction du rayon ; et que l’espace parcouru dans la chute d’un corps' est fonction de la vitesse acquise, iaqtudle à son tour est fonction de ht durée. Le périmètre et la vitesse seraient des variables accessoires, servant à établir l’enchaînement entre l’aire et le rayon, d’une part, entre l’espace et le temps écoulé, d’autre part. On serait d’ailleurs toujours maître de les

rREMltRF. PARTIE.

faire disparailrc par .ücs substitutions convenables, cil remontant d'une équation à l’autre, jusqu'à ce qu’on ail mis en évidence la relation directe entre les variables indépendantes et la véritable variable dépendante. Mais bien qu'on puisse envisager ces dépendances médiales comme essentiellement provisoires et destinées à disparaître dans une élaboration définitive de la question, on n’en est pas moins conduit à leur faire une part dans le calcul, afin, précisément, d’éviter au moment même les substitutions plus ou moins compliquées (pie leur disparition immédiate rendrait nécessaires.

Une fonction daqs le genre de celle qui exprimerait l'espace parcouru au moyen de la vitesse acquise se nomme fond ion de fonction, pour indiquer que la quantité qui y joue en apparence le rôle de variable indépendante ( la vitesse acquise) est en réalité une fonction de la véritable * variable indépendante de la question (la durée). S’il existe à la fois plusieurs variables accessoires, la fonction de ce* fonction * a la forme d’une fonction de plusieurs variables indépendantes.

6. — La considération des fonctions est aussi ancienne que l'étude même des phénomènes, ou plutôt ne s’en distingue pas ; car qu’est-ce que la définition des fonctions, siuon la déliuition meme des lois des phénomènes? Trouver la loi d’un phénomène, c’est établir entre scs divers éléments ou entre les diverses circonstances qui concourent à sa formation, une ou plusieurs équations qui permeltcut de déduire certains de ces éléments, quand les autres sont counus. La loi de la gravitation universelle, par exemple, consiste à exprimer, par une équation, la valeur de l’at-

NOTIONS FONIMMENTAI.ES.

traction en fonction des masses des corps eu présence et de la distance qui les sépare. La loi du refroidissement d’uu corps dans le vide consiste à exprimer la température «■il fonction du temps écoulé, etc., etc.

Disons plus : il n’est pas un problème, en apparence le plus étranger à la recherche des lois, qui ne conduise à une fonction oii l’expression d’une loi se trouve implicitement. C’est même là ce qui fait la généralité et par suite la supériorité de l’algèbre ; car le problème une fois résolu, la formule qui en fournil la solution fournit aussi celle de tous les autres problèmes de même nature, sans qu’il soit nécessaire de Refaire les calculs pour chaque cas particulier. Ainsi, ayaut trouvé que l’aire d’uu cercle de l ayon déterminé est égale à un nombre constant multiplié par le carré de ce rayon, je sais que cette formule conviendra à tous les cercles, et qu’il suffira pour chacun d'eux de remplacer la valeur primitive du rayon par celle qu’on assigne actuellement. En sorte que par une généralisation naturelle je suis conduit à enlever à l’équation son caractère étroit d’équation de solution, pour y voir désormais une fonction, c’est-à-dire l’expression de la loi des surfaces circulaires. De même , dans l'équation qui donne la longueur de l’espace parcouru, sous l’action d’une force constante , au bout d’un temps déterminé , je dois chercher autre chose que l’expression d’un fait particulier propre à la durée assignée , et y voir la loi même du mouvement dû à cette force, loi qui consiste en ce que l’espace parcouru est proportionnel au carré du temps employé à le parcourir.

Rien doue de plus naturel, de plus primitif , , si j’ose ainsi dire, que la considération des fonctions. Par suite,

PREMIÈBE PAHTJE.

Ih

rien qui soit en connexion plus immédiate avec la solution des problèmes, but définitif de toutes le» sciences, que la brauche de calcul qui s'occupe spécialcmeut de l’étude des fouctious mathématiques.

CHÀPITKE M.