TROISIÈME PARTIE

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que de cet angle est la limite du rapport de l’accroissement de l’ordonnée à l’accroissement de l’abscisse, etc., etc.

Le raisonnement employé pour prouver que les infiniment petits considérés ont pour limite de rapport ou de somme la quantité inconnue, consiste à faire voir que la définition de la limite est satisfaite, c’est-à-dire que la quantité variable représentée par le rapport ou la somme des infiniment petits s’approche autant qu’on le veut de la grandeur fixe qui est l’inconnue de la question. A cet effet on montre que si l’on prend dans la grandeur fixe des éléments correspondant aux divers infiniment petits, chacun de ces infiniment petits ne diffère de l’élément homologue que par une quantité infiniment petite par rapport à lui-même. Or, on sait, en ce cas, d’après les propositions établies aux n 0> 55 et 56, que la limite des infiniment petits est la même que celle des éléments, c’està-dire est égale à la grandeur fixe elle-même.

66. — Considérons, par exemple, l’aire AB DC (fig. 5), comprise entre une courbe A B, l’axe des abscisses et deux ordonnées AC, BD. Je veux montrer que cette aire est la limite de la somme des rectangles tels que MP P' H, formé en élevant deux ordonnées infiniment voisines M P, M' F, et menant M H parallèle à l’axe des abscisses. Je prouverai que ce rectangle infinitésimal ne diffère de l’élément homologue M M' P'Ÿ, appartenant à la surface donnée, que par une quantité MM' H infiniment petite par rapport au rectangle lui-même. On s’en assure aisément en remarquant que MM' H est moindre que MHM'K, quantité égale à Mû x HM' ou à Aar.Ay. Or, ce produit est un infiniment petit du second ordre, tandis que le ree-

MÉTHODE INFINITÉSIMALE

tangle en question M H P' P est mesuré par MPx PP’ou par ybx, infiniment petit du premier ordre. La limite de

Fig. 5.

la somme des rectangles tels que M P P' H ne diffère donc pas de la limite de la somme des surfaces MM' P' P, c’està-dire ne diffère pas de la surface donnée elle-même.

Il n’y aurait pas plus de difficulté à prouver qu’un are de courbe est la limite des périmètres inscrits. Car soit MIM' (fig. 6), un arc infiniment petit correspondant à l’un des côtés M M' du polygone inscrit.

Nous avons vu précédemment (H° 59) que la différence entre l’arc et la corde est infiniment petite par rapport à la corde elle-même. Ainsi, en augmentant chacun des termes qui figurent dans la somme des cordes, d’une quantité infiniment petite par rapport à lui-même, on reproduirait la