TROISIÈME PARTIE

quantité cherchée , qui est la longueur de la courbe donnée. Celte dernière est doue la limite de la somme des cordes.

G7. — Une même quantité peut être considérée comme limite d’une foule d’autres. Ainsi une courbe est aussi bien la limite des périmètres circonscrits que des périmètres inscrits; elle l’est également d duc série de tangentes arrêtées chacune à l’ordonnée du point de contact suivant; elle l'est encore d’une série de droites quelconques, non tangentes à la courbe, mais qui s’en rapprocheraient indéfiniment d’après une loi donnée. De même l’aire d’une courbe est la limite des trapèzes formés par deux ordonnées consécutives, et dont le côté supérieur se rapprocherait de plus en plus des extrémités de ces ordonnées. De même encore la tangente à une courbe est aussi bien la limite d’une sécante qu’on ferait tourner autour d’un de ses points de rencontre, que la limite d’une sécante qui s’éloignerait parallèlement à elle -même de l’intérieur de la courbe, etc. Dès lors, on demeure maître de choisir entre les divers infiniment petits ceux qui paraissent offrir le plus de facilités pour le calcul. Quant aux règles qui doivent diriger ce choix, il est impossible d’en préciser aucune. C’est l’habi- Uide de l’analyse qui seule donne le discernement nécessaire en chaque cas.

Les quantités s’expriment tantôt sous forme de limite de rapport, tantôt sous forme de limite de somme. Ce n’est pas arbitrairement qu’on a recours, dans chaque cas, à l’une ou à l’autre de ces limites, et que la question se résout par des différentiations ou par des intégrations. Si l’on pouvait emprunter à volonté l’une des deux formes,

MÉTHODE INFINITÉSIMALE. * 185

on se prononcerait toujours pour celle de rapport, parce que le calcul des dérivées est bien plus assuré que celui des intégrales. La nature de l’expression est déterminée par les conditions mêmes de la question. Selon que telles quantités ou telles autres sont assignées d’avance, les quantités inconnues sont formées par des limites de rapport ou par des limites de sommes. Ainsi, dans un mouvement rectiligne varié, si c’est l’espace parcouru qui est donné en fonction du temps, la vitesse s’exprime par une

limite de rapport (lim. s étant l’espace et t le temps); si

c’est la force qui est connue , la vitesse s’exprime par une

limite de somme ( j Vdt,V étant la force). Dans aucun cas

on n’a la possibilité de recourir indifféremment à l’un des deux modes de limite pour obtenir la quantité inconnue. Il n’y a d’exception à cette règle que si les données du problème sont en nombre surabondant. C’est ce qui arriverait dans l’exemple ci-dessus, où l’espace et la force seraient simultanément connus à priori ; la valeur de la vitesse s’obtiendrait à volonté par une limite de rapport ou par une limitede somme. Ce cas nécessite, disons-nous, des données superflues ; car si, dans une certaine question, on trouve

que la quantité est égale à la fois à lim et à lim.AzAr,

y et z étant des fonctions connues de x , il en résulte

lim. ^ = lim.Az , d’où y = ^ (z) ; ainsi l’une des

quantités y et z pourrait se déduire de l’autre. Si donc, comme on le suppose, elles sont assignées toutes deux à priori , le nombre des données de la question se trouve