TROISIÈME PARTIE

de la corde, on la néglige purement et simplement, parce qu'on sait fort bien qu’elle disparaîtrait lorsqu’on prendrait la limite de la somme de toutes les cordes. On obtient ainsi :

expression qui a bien la forme* voulue /"(a?) Aa?, puisque

du*

étant le carré de la dérivée de la fonction qui exprime

l’ordonnée de la courbe, le radical

dx 2

représente

une certaine fonction de x.

De là on déduit, en désignant par x 0 et x, les abscisses correspondant aux extrémités de l’arc total A S dont on cherche la longueur:

En désignant l’arc par « et sa différentielle par d* , on peut remplacer MM' par du. En effet, la corde diffère de l’arc sous-tendu d’un infiniment petit de 2 e ordre; cet arc sous-tendu , qui représente l’accroissement A* de l’arc AM , diffère de la différentielle dst d’un infiniment petit du 2 e ordre; donc aussi la corde diffère de la différentielle d’un infiniment petit du 2' ordre. Dès lors on peut les substituer l’une à l’autre sans crainte de compromettre le résultat obtenu par le passage aux limites. La relation (1) prend la forme suivante , sous laquelle on la donne ordinairement :

ds

~dx \J ^ + » ou <&= \/dx l -f- dtf

MÉTHODE INFINITÉSIMALE. 193

70. — Mesure de l'aire d’une courbe. — Soit A BDC (fig. 8) l’aire en question. Ce problème conduit, comme

Fig. 8.

on l’a vu (n° 66), à calculer la limite de la somme des rectangles M H P' P. Il faut ramener l’expression de chacun d’eux à la forme f(x)Ax. Ce résultat est obtenu immédiatement, car M P ou y est exactement égal à la fonction qui représente l’ordonnée de la courbe. Si y = f(x) est l’équation de cette courbe, le rectangle Mil P' P a pour valeur f(x) Ax ou f(x)dx, et on en déduit :

On peut, comme dans l’exemple précédent, remplacer le rectangle MH PP par d A, en désignant par A l’aire cherchée et par d A sa différentielle. On s’appuie sur cette remarque que le rectangle diffère de l’accroissement et