Détermination de la courbure d’une courbe

Cette question conduit, comme on sait, à calculer la limite vers laquelle tend le rapport de l’arc à l’angle extérieur formé par les deux tangentes extrêmes, à mesure que la longueur de cet arc diminue indéfiniment. C’est ce qui résulte de la définition même de la courbure, dont nous rappellerons les principes.

On doit définir la courbure d’une manière analogue à la vitesse, c’est-à-dire considérer d’abord une ligne uniforme ou régulière , et passer ensuite à une ligne quelconque.

Une ligne est régulière lorsque les angles formés extérieurement par les tangentes menées aux extrémités d’arcs égaux, sont égaux, quelle que soit la longueur des arcs. L’angle correspondant à l’unité de longueur de l'arc, ou le rapport constant des angles aux arcs interceptés est ce qu’on nomme la courbure de la ligne. — Les seules lignes régulières ou à courbure constante sont la ligne droite et la circonférence. Encore convient-il d’exclure la première, qui n’a pas, à proprement parler, de courbure, puisque le rapport dont il s’agit est égal à zéro. — Dans un cercle, l’angle extérieur des tangentes est égal à l’angle au centre, et celui-ci est égal à l’arc intercepté divisé par le rayon. Donc la courbure, qui est représentée par le rapport de l’angle à l’arc, est également exprimée

par 1 unité divisée par le rayon, c’est-a-dire par — .

MÉTHODE INFINITÉSIMALE

Dans line courbe irrégulière, c’est-à-dire où le rapport de l’angle à l’arc n’est pas constant, on nomme courbure en un point quelconque la limite vers laquelle tend le rapport de l’angle extérieur à l’arc pris à partir de ce point, à mesure que l’arc diminue indéfiniment. On nomme cercle de courbure celui qui aurait la même courbure que la courbe eu ce point, ou dont le rayon serait tel

que -jv fût égal à la limite dont nous venons de parler. Le

rayon de ce cercle est nommé rayon de courbure de la ligne ; il a pour valeur l’unité divisée par la valeur de la courbure.

Reprenons actuellement le problème que nous nous sommes proposé.

Soit AB (fig. 9) la courbe donnée. Il s’agit de détermi-

ner la valeur de la courbure en un point quelconque M.