TROISIÈME PARTIE
Si je prends, à partir de ce point, un arc MM', et que je mène les tangentes MT, M'T', la limite du rapport de l’angle extérieur TIT' à la longueur de l’arc MM' fournira la quantité cherchée. Mais cet angle n’est autre chose que l’accroissement AV de l’angle V formé par la tangente à la courbe avec l’axe des abscisses, quand on passe du point M au point M'. De même l’arc MM' est l’accroissement de l’arc » compté à partir d’une certaine origine. La limite en
AV
question est donc celle du rapport — .
Cette limite aurait la forme voulue , et pourrait
cire calculée immédiatement, si * était la variable indépendante, et si V était une fonction connue de ». Elle serait
alors fournie par la dérivée Mais comme nous avons
coutume de prendre l’abscisse pour variable indépendante, les quantités V et s doivent être considérées toutes deux comme fonction de x. Or, on sait dans ce cas (n° 28) que la dérivée de V prise par rapport à », comme si » était la variable indépendante, est égale au rapport des dérivées de V et de », prises par rapport à la véritable variable
j,.,, AV
indépendante x. Donc la courbure cherchée, ou lim - -
dX
dx
est donnée par la fraction — g — , dans laquelle le numé-
dx
rateur cl le dénominateur représentent des dérivées de forme connue. Il ne s’agit plus que d’en calculer les valeurs.
MÉTHODE INFINITÉSIMALE
A cct effet , remarquons que l'angle V ayant pour tan- . . . d 1/
gente tngonometrique , on en déduit : dx
V — arc tang
dx
et
dV
dx
dPy
dx 1
dif
D’autre part, nous avons trouvé précédemment :
ds
dx
dx*
11 en résulte, en appelant R le rayon de courbure : ,
On arrive plus rapidement à la même conclusion en . „ . AV
remarquant que dans 1 expression lim — 011 peut, sans
altérer la valeur de la limite, remplacer les accroissements de l’angle et de l’arc par leurs différentielles (qui n’en diffèrent que par des infiniment petits d’ordres supérieurs), AV dX
en sorte que lim — = -7-; d’où résulte la formule ci-dcs- A* ds
sus, d’après les valeurs connues de d.X et de ds en fonction de x. Mais cette manière de procéder ne se distingue pas réellement de la première ; car, prendre les différentielles
