TROISIÈME PARTIE

jusqu’à l’ordre « inclusivement, prennent les mêmes valeurs pour les coordonnées du point de contact — .

Voici, en résumé, les considérations qui ont conduit Lagrange à établir cette remarquable classification des contacts.

Par un même point on peut faire passer une infinité de courbes tangentes à une courbe donnée ; car ces courbes sont assujetties à la seule condition que leurs dérivées premières soient égales, pour le point commun supposé , à la dérivée de la courbe donnée : c’est le contact du premier ordre. Si l’on fait croître l’abscisse d'une quantité infiniment petite, la différence des ordonnées des diverses courbes est un infiniment petit du deuxième ordre : car si, pour chaque courbe, on développe la valeur de l’accroissement de l’ordonnée, d’après la série de Taylor, on aura :

1° Pour la courbe y = f(x) ,

ày=m a* + r(*) + r» ££5+.. •

2° Pour une autre courbe y, = tf(ar) ,

Ay, = *’(*) A* + 0 + J» ~ + ... .

et la différence Ay, — \y sera du deuxième ordre, puisque par hypothèse f —

Cela posé, remarquons que les diverses courbes pourront être très-inégalement tangentes à la courbe donnée, selon que la différence des ordonnées sera plus ou moins petite. Si l’une de ces courbes, par exemple, est telle que

MÉTHODE INFINITÉSIMALE

la dérivée seconde ait la même valeur que la dérivée seconde de la courbe donnée, la différence Ay, — Ay sera un infiniment petit du troisième ordre. Dans ce cas, le contact sera beaucoup plus intime, puisque, dans le voisinage du point commun, les deux courbes seront infiniment plus rapproeliées que celles dont les seules dérivées premières sont égales, et ce contact est dit du second, ordre.

En continuant de la sorte, on aura des contacts de plus en plus intimes, à mesure qu’un plus grand nombre de dérivées auront les mêmes valeurs pour le point commun. D’une manière générale , on appelle, comme nous l avons dit eu commençant, contact de l’ordre n celui qui correspond à l’égalité de n dérivées successives, ou pour lequel la différence des ordonnées est un inGniment petit de l’ordre n + 1 .

Il est aisé de se rendre compte des circonstances qui permettent à une courbe d’avoir un contact d’un ordre plus ou moins élevé avec une courbe donnée. Chaque degré dans l’ordre du contact correspond à l’égalisation d’une dérivée. Il faut donc que la courbe tangente ait autant de paramètres ou constantes arbitraires qu’il y a d’égalités semblables à satisfaire ou qu’il y a d’unités dans l’ordre du contact, sans parler de la relation qu’elle doit déjà vérifier comme ayant un point commun (le point de tangence) avec la courbe donnée. Tour qu'une courbe puisse être tangente jusqu’à l'ordre », son équation doit comprendre au moins n - 1-1 paramètres dont on puisse disposer, savoir : un paramètre pour la condition du point commun, et n autres paramètres pour réduire à l’ordre n + 1 la différence des ordonnées des deux com bes.

De là résulte que pour chaque espèce de courbe, l’ordre