TROISIEME PARTIE

du contact est limité par le nombre maximum de paramètres que comporte l’espèce de la courbe.

Parmi toutes les courbes de même espèce (ou ayant même nombre de paramètres), on nomme courbe osculatrice celle dont le contact est de l'ordre le plus élevé possible.

La ligne droite (qui est une variété de courbe) a au plus 2 paramètres : son contact le plus intime est donc le contact du premier ordre ; ce qui est évident de soi , car des droites ne peuvent être plus ou moins tangentes à une courbe donnée.

Le cercle a au pins 3 paramètres : son contact le plus intime sera du second ordre, et le cercle osculateur en un point donné d’une courbe sera déterminé par les 3 équations exprimant : l°que la circonférence passe parle point donné ; 2° que la dérivée première est égale à celle de la courbe ; 3° que la dérivée seconde est pareillement égale à la dérivée seconde de la courbe donnée 1 .

Qnand on écrit ces 3 équations et qu’on en déduit la longueur du rayon , on trouve qu’elle est égale à

ce qui est précisément l’expression du rayon

de courbure. Ainsi le cercle de courbure et le cercle osculateur se confondent. Il était facile de le prévoir ; car quel est le cercle qui pourrait mesurer la courbure

1 La parabole comportant 4 paramètres dans son équation, le contact d’une courbe avec une parabole peut être plus intime qu’avec un cercle. Le contact d'une ellipse peut être plus grand encore, puisque son équation renferme 5 paramètres.

MÉTHODE INFINITÉSIMALE

d’une ligne, sinon celui qui a avec cette ligne -le contact le plus intime possible?

73. — La détermination du rayon du cercle oscillateur n’est pas, à proprement parler,* une application de la méthode infinitésimale : c’est une question de pure algèbre, qui consiste à résoudre un système d’équations à plusieurs inconnues, sans qu'il y ait lieu de faire intervenir aucun des théorèmes démontrés sur les limites et les infiniment petits. Le môme problème peut être traité à un point de vue véritablement infinitésimal, de la manière suivante :

Soit AB une courbe (fig. 10), et MCQ le cercle oscillateur cherché en un point M de cette courbe.

Le centre du cercle se trouve évidemment situé sur la normale MC de la courbe, puisque la courbe et le cercle