TROISIÈME PARTIE

ont la même tangente M T. Reste à déterminer la longueur MC. Or, si l’on prend sur le cercle un arc infiniment petit Mm', le rayon, qui est égal au rapport constant de l’arc à l’angle extérieur des tangentes , quelle que soit la grandeur de l’are, sera égal au rapport de M m' à l’angle T*/'. D’un autre côté, si l’on considère, sur la courbe, l’arc M M' et l’angle T'IT, correspondant au môme accroissement de l’abscisse, le rayon de courbure de la

, MM'

courbe sera exprime par lim j-jj ■

Il est facile de voir

que les arcs MM' et Mm', qui sont les accroissements des longueurs des deux courbes, et les angles T'IT, T il' qui sont les accroissements des inclinaisons des tangentes, ne diffèrent respectivement entre eux que par un infiniment petit du second ordre. En effet, la différentielle d’un arc de courbe quelconque est représentée par

dx \/ 1 + : celle quantité à la même valeur pour

la courbe et pour le cercle puisque, par hypothèse, la dérivée première est la môme de part et d’autre. Donc les accroissements MM' et Mm', qui diffèrent respectivement de leurs différentielles par un infiniment petit du deuxième ordre, ne peuvent avoir entre eux qu’une différence de cet ordre. Pareillement, la différentielle de l’angle formé par la tangente avec l’axe des abscisses est d?y dx*

exprimée par j-r, : cette quantité a encore la même

valeur pour la courbe et pour le cercle, puisque, par hypolhè c, les dérivées première et seconde sont égales des deux côtés. Donc les accroissements T'IT, T «Y ne

MÉTHODE INFINITÉSIMALE

diffèrent entre eux que par un infiniment petit du second ordre.

De là résulte que la limite du rapport de l’arc à l’angle, appartenant à la courbe, est identique à la limite du rapport des quantités analogues, appartenant au cercle. Or ce dernier rapport est constant, quelle que soit la grandeur de l’arc, et est égal au rayon. Ainsi le rayon du cercle

osculaleur est exprimé par lim fprpp ou par lim ,

en appelant » la longueur de la courbe et V l’angle de la *

tangenle avec l’axe des abscisses. En d’autres termes, il se confond avec le rayon du cercle de courbure. Celte conséquence est directement fondée, on le voit, sur la définition même du cercle osculateur, puisqu’elle nécessite que les dérivées première et seconde de la courbe soient égales à celles du cercle.

Ih. — Il y a une remarque à faire sur l’ordre de l’infiniment petit qui représente la différence des ordonnées des deux courbes à partir du point de contact.

Nous avons dit que pour le contact de l’ordre n, la différence correspondant à un accroissement infiniment petit de l’abscisse est de l’ordre » + l. Dans la circonstance particulière on la tangente commune aux deux courbes serait parallèle à la direction des ordonnées, l’ordre de la différence serait moins élevé d’une unité. Ainsi , pour le contact simple, la différence, au lieu d’être du second ordre, serait du premier. Il est facile de s’en convaincre ; car soient les deux courbes AB, A'B' (fig. 11), dont la tangente commune en RI est parallèle à l’axe O Y. Prenons l’ordonnée voisine P'M'N', et formons le triangle infinitésimal JIM'.Y.