TROISIÈME PARTIE

Dans ce triangle les angles N' et M sont infiniment petits, puisqu’ils ont pour limite zéro, et l’angle M' converge

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vers 180°. Les trois sinus sont donc à la fois infiniment petits, et les trois côtés sont du même ordre de grandeur. La différence N'.Vl' est du même ordre que MM' ou que l’accroissement M IL

Il est bien évident que cette démonstration repose toute entière sur le parallélisme de la tangente MT et de l’ordonnée PIS" : sans cela, on ne pourrait pas dire que l’angle N' converge vers zéro. Si l’on considère, par exemple, deux autres courbes AB, A'B' (fig. 12), pour lesquelles ce parallélisme n’ait pas lieu, et qu’on forme le même triangle MM'N', on reconnaît que l’angle N' converge vers l’angle VMP, qui n’est pas nul, tandis que l’angle M continue à avoir pour limite zéro. Donc M'N' est infiniment

MÉTHODE INFINITÉSIMALE

petit par rapport à MM' ou par rapport à l’accroissement M'H.

La particularité que nous venons de signaler est, du reste, indiquée par le calcul : car dans chacune des formules qui donnent l’expression de l’accroissement de l’ordonnée pour les deux courbes, la fonction dérivée prend une valeur infinie, puisque l’angle formé par la tangente à la courbe avec l’axe des abscisses est supposé droit exactement.

Pour le cercle osculateur, la différence des ordonnées . serait du second ordre, au lieu d’étre du troisième ; et ainsi de suite pour les autres ordres de contact des courbes.