TROISIÈME PARTIE

rôle analogue à celui du cercle oscillateur vis-à-vis des courbes. Sa vitesse est exprimée par la dérivée première, et sa force accélératrice par la dérivée seconde de l’espace parcouru. La différence entre les accroissements des longueurs décrites pendant une durée infiniment courte, à partir de la coïncidence des deux mouvements, est un infiniment petit du troisième ordre.

. On ramène le mouvement curviligne au rectiligne en le considérant comme provenant de la combinaison de trois mouvements rectilignes s'exerçant chacun le long d’un des axes de coordonnées. La vitesse d’un de ces mouvements partiels est égale à la dérivée première, et la force à la dérivée seconde de la longueur parcourue sur l’axe. En vertu des lois sur la composition des mouvements , la vitesse du

mouvement curviligne est égale à V u? v 7 te* ou ^

(en désignant par u,v, w les vitesses suivantles trois axes), et la force accélératrice totale est égale à \/X 2 ■+■ Y 2 + Z* (en appelant X, Y, Z les forces partielles suivant les axes). Chacun des mouvements composants a une coïncidence du premier ordre avec le mouvement uniforme ayant pour vitesse la dérivée première ; et une coïncidence du second ordre avec le mouvement uniformément varié ayant pour force constante la dérivée seconde. Le mouvement osculateur du second ordre du mouvement curviligne est donc produit par une force constante dont les trois composantes seraient X, Y, Z; c’est-à-dire par une force constante ayant la grandeur et la direction de la force donnée au moment de la coïncidence. La trajectoire décrite sous l’influence d’une telle force et d’une telle vitesse acquise est, comme on sait, une parabole. Le mouvement osculateur

MÉTHODE INFINITÉSIMALE

du mouvement curviligne est nommé parabolique; et il jouit de la propriété que la différence entre les ordonnées des deux mouvements, prises suivant un axe quelconque, au bout d’une durée infiniment courte à partir de la coïncidence, est un infiniment petit du troisième ordre.

76. — Occupons-nous maintenant de déterminer les composantes tangcntielle et normale de la force qui produit un mouvement curviligne.

Soit AB (fig. 13) la trajectoire décrite 1 , M la position

du mobile à un certain moment, MP la force accélératrice, et MT, MC les directions de la tangente et de la normale

1 Nous avons supposé, pour plus de sim; licité, la trajectoire plane, sur la figure, mais le raisonnement serait le même si elle était à double courbure.