TROISIÈME PARTIE

au point M. Nous voulons avoir les composantes T et Q de la force suivant MT et MC.

Si la composante T agissait seule, le mobile, sous l'influence de celte force et de la vitesse acquise, parcourrai! pendant le temps infiniment petit A t une certaine longueur M K. Si la composante Q agissait seule, le mobile parcourrait une certaine longueur M I. Eu vertu de ces actions simultanées, le mobile parcourt réellement l’arc de courbe M M ' cl se trouve en M ' au bout du temps A t.. Le mouvement suivant MT étant rectiligne, la force T

de ce mouvement est égale à , en désignant par r, la;

longueur décrite sur la tangente. Or M'K étant perpendiculaire à MT, la longueur M K ou A? ne diffère que par un infiniment petit du troisième ordre de l’arc M M' ou A* (n" 62). Donc A et A 2 *, qui sont des infiniment petits du second ordre, diffèrent entre eux par un infiniment petit d’ordre supérieur *, et dès lors peuvent être

substitués l’un à l’autre dans les expressions lim el

lim

Ai 2

ou

c Pa rf?

dï ’

Donc enfin on obtient :

' 11 est facile de se rendre compte que si la différence entre Ao et As est du 3« ordre, la différence entre a’o et A*s sera aussi du 3' ordre ; car lorsqu'on a à la fols :

Aj = Aî + M*' t Aa,=As,

a représentant l’inflnimcnt petit du premier ordre, on en déduit :

A o, — As = A s, — As a’ (M, — M).

ou A’o = A's -f a* (M, — M).

MÉTHODE INFINITÉSIMALE

OU

dV di *

Quant à la composante normale Q, on a évidemment :

Q = lim . En effet, h désignant, d’une manière

générale, l’accroissement de l’espace parcouru x pendant le temps A t, dans un mouvement rectiligne quelconque, on a :

« dx .

h- Tt \t +

1 (Px

T7i ~üp

«ou bien , en appelant u la vitesse et la force : h — u Ai + jAj *? A,î +

Mais, dans le cas présent, la vitesse suivant MC est nulle au départ du point M : donc u — o, et est exprimé 2 h

par lim ^ : ce qui est bien la relation ci-dessus ’M I

<J = lim = i— i . Reste à trouver la valeur de M I.

Remarquons d’abord que si je décris le cercle osculateur de la trajectoire en M, et si je prolonge M' K en n, la longueur ML pourra être substituée à MI dans l’ex-

1 L'accroissement h est donc un infiniment petit du 2* ordre, ti ne faut pas s’on étonner ; car la vitesse initiale étant nulle, cet espace parcouru est dû uniquement à la force. Or une force finie ne peut, dans un temps infiniment petit, faire décrire qu’une longueur infiniment petite par rapport au temps.