TROISIÈME PARTIE

à abréger sensiblement le discours; et cela se conçoit, puisque, étant admis une fois pour toutes que les quantités sont parfaitement assimilables, il devient inutile, à chaque substitution opérée dans la suite du calcul, de rappeler les principes qui rendent celte substitution légitime. Nous avons vu, par exemple, que la différence entre un arc de courbe infiniment petit et la portion de la tangente interceptée par les mêmes ordonnées, est une quantité infiniment petite du second ordre, et que dès lors ces deux longueurs peuvent être remplacées l’une par l'autre dans toutes les expressions de limites de sommes ou de limites de rapports. Nous énoncerons celte vérité en d'autres termes , en disant que l’arc de courbe peut être assimilé à une droite, sur une portion infiniment petite de sa longueur; et quand nous aurons à figurer cet arc géométriquement, nous lui donnerons une apparence rectiligne. Les relations déduites de l’examen de la figure seront toujours établies en supposant que cet arc est effectivement une très-petite ligne droite. De même, dans un mouvement rectiligne varié, l’espace parcouru au bout d’une durée infiniment petite, ne diffère que par un infiniment petit du second ordre de celui qui serait parcouru si la vitesse demeurait constante. On assimile donc ces espaces l’un à l’autre, ou, ce qui revient au même, on considère le mouvement varié comme uniforme pendant un temps infiniment court. On dit aussi que l’élément*

1 11 faut se garder d'attacher au mot élément, ainsi employé, l’idée d'aucune partie constitutive. L’élément n’est pas une portion déterminée de ta grandeur considérée. Ce terme est simplement synonyme il'infiniment petit. Quand on dit que les éléments d’une courbe sont rectilignes, cela signifie que, sur une longueur infiniment petite, l’arc de courbe peut,

MÉTHODE INFINITÉSIMALE. 217

d’une courbe est rectiligne, et que l’élément d’un mouvement varié est uniforme.

C’est d’après le même ordre de considérations que l’accroissement infiniment petit d’une quantité est désigné par la différentielle, et que, selon les besoins du calcul , on écrit indifféremment dans les formules Ay ou dy ; bien que ces symboles ne corrrespondent pas, en réalité, à des grandeurs identiques, mais parce que la différence entre elles est un infiniment petit d'ordre supérieur. Cette assimilation s’étend aux diverses catégories de différentielles, et on écrit à volonté A ï y ou d}y, A 5 y ou d % y , etc., etc.

Pour bien apprécier la méthode dont nous parlons, il convient de l’étudier sur divers exemples. Aussi reprendrons-nous, à ce nouveau point de vue, les principaux cas traités précédemment , et nous rechercherons de quelle manière la forme du raisonnement se trouve modifiée.

78. — Occupons nous de déterminer la longueur d’un arc de courbe AB (fig. 14).

Soit MM' un élément de la courbe. Menons les coordonnées MP, M'P', des extrémités, et traçons MH parallèle à l’axe des abscisses. Le triangle MM' II étant rectangle, on a :

M M'= Vmh’ + -

Or MH, M'H et MM' représentent rectivement les ’diffé-

aa point de vue d’un calcul de limites , cire considéré comme une ligne droite, et les formules être établies en conséquence.