TROISIÈME PARTIE

rentielles de l'abscisse , de l’ordonnée et de l’arc de la

courbe, c'est-à-dire dx, dy et dx. Cette relation prend donc la forme suivante :

ds — y/rfx 2 4- dtf ou ds = dx y/l -f- < jp

d’où, en désignant par x 0 et x { les abscisses OC et OD des extrémités de l’arc donné :

du 2 «te 2 ’

Celte intégrale a la forme voulue j’ f(x) dx , puisque

did . .

■jp est le carré de la dérivée de la fonction qui exprime

l’ordonnée de la courbe.

MÉTHODE INFINITÉSIMALE

Le procédé dont nous venons de faire usage est bien plus expéditif que celui qui est présenté au n° 69. Mais il est visible que sa plus grande simplicité tient uniquement à ce qu’on y sous-entend certains principes formulés explicitement au numéro précité. En effet, pour que la relation fondamentale des triangles rectangles soit applicable au contour MM'H, il faut que MM' soit une ligne droite ou puisse être considérée comme telle. D’autre part, pour que M'H puisse être remplacée par</j/, il faut que le point M' appartienne réellement à la tangente MT. De ces deux conditions réunies, il suit que l’arc MM' est implicitement assimilé à la portion MN de la tangente MT. Or, ce qui fait la légitimité de cette assimilation, c’est précisément la faculté de remplacer les uns par les autres des infiniment petits qui ne diffèrent entre eux que par un infiniment petit d’ordre supérieur. C’est le même motif qui permet d’écrire immédiatement ds au lieu de MM' ou A s ; car la différentielle et l’accroissement sont égaux, à un infiniment petit près du second ordre. En résumé, la méthode ci-dessus n’est plus rapide qu’en apparence, et elle présuppose la démonstration rigoureuse des théorèmes relatifs aux infiniment petits.

79. — Évaluons maintenant la surface ABDC (fig. 15) comprise entre la courbe AB, Taxe des abscisses et les ordonnées AC, BD.

Soit M P P M' un élément de la surface, c’est-à-dire une bande correspondant à l’élément MM' de la courbe. L’aire de ce trapèze infinitésimal est égale à la hauteur PP' multipliée par np, parallèle à la base M P, et à égale distance de celte base et de M'P'. On a donc :