TROISIEME PARTIE

Je premier accroissement de l’ordonnée et celui-ci sera, d’après les notations adoptées dans le calcul infinitésimal ,

représentée par A 2 ÿ j et la dérivée ou lim s’introduit ainsi à la suite de la considération de trois points de la courbe.

Si je fais encore croître l’abscisse de la môme quantité, j’aurai un nouvel accroissement A y 3 de l’ordonnée et un quatrième point sur la courbe. Entre le second, le troisième et ce dernier, je pourrai former une nouvelle différence seconde A î y i , comme j’en ai formé une entre le premier, le deuxième et le troisième point. La différence entre ces deux différences secondes est représentée par

A J y ; en sorte que la dérivée ou lim s’introduit

à la suite de la considération de quatre points de la courbe.

En continuant à raisonner ainsi, on voit que la dérivée implique , pour ainsi dire , qu’on envisage sur la

courbe «+ 1 points consécutifs, obtenus en augmentant chaque fois l’abscisse de la quantité Ax.

D’après cela , quand on suppose que les courbes ont un contact 3e l’ordre n , ou que les n premières dérivées de leurs fonctions sont égales chacune à chacune, on se trouve dans le môme cas que si ces deux courbes avaient n - f- 1 points consécutifs communs ; ce qui signifie que si ces n + 1 points étaient communs en effet , les dérivées auxquelles pourrait donner lieu la considération des différences de divers ordres de leurs coordonnées, seraient entre elles dans les mêmes relations que lorsqu’on sup-

MÉTHODE INFINITÉSIMALE

pose simplement l’existence d’un seul point commun et «n contact de l'ordre n en ce point. C’est dans ce sens uniquement qu’on doit entendre que deux courbes ont n + 1 points ou n éléments communs.

D’après ces locutions, on définit la courbe osculalrice d’une courbe donnée en disant que c'est celle qui a avec elle autant de points communs qu’il y a de constantes ou de paramètres arbitraires dans son équation. La ligne droite a donc, ainsi que nous l’avons déjà dit, un seul élément commun avec une courbe, et le cercle oscillateur en a deux.

81. — Les personnes qui débutent dans l’étude de l’analyse, et qui entendent dire que deux courbes dont le contact est de l’ordre «, ont n + 1 point communs infiniment rapprochés, conservent parfois des idées très-vagues et souvent même fausses de cette manière d’exprimer le phénomène. Aussi croyons-nous devoir donner encore quelques explications.

Au fond, deux courbes ne peuvent pas plus avoir m+ 1 point communs , qu’il u’est possible à la droite tangente d’en avoir deux et au cercle osculateur d’en avoir trois. Quelque intime que soit le contact, les lignes se touchent toujours par un point unique*. Ce qui distingue le contact de la simple rencontre, et, parmi les divers contacts , ce

'Ce point île vue était nettement accusé dans la géométrie ancienne, où l'on définissait lignes tangentes celles qui se touchent par un seul point. Cette définition , bien que devenue insuffisante par suite des travaux de généralisation réalisés par la géométrie moderne, n'en est pas moins le véritable germe de toute notion juste du contact.