TROISIÈME PARTIE
nu
l’espace parcouru sous l’action de la composante normale Q.
La force motrice étant constante pendant ce temps infiniment petit, les composantes le sont aussi, et l’on a :
1° Pour le mouvement rectiligne sur M'T,
1 — dt ~~ dt 1 ’
2° Pour le mouvement rectiligne sur M' C,
or, dans le triangle rectangle M'M"D, formé par le diamètre du cercle oscillateur et les cordes M'M" etM"D, le
segment M' I est égal à à On en déduit :
M'M"* ds 1 V»
Rdt 1 ~ R de 2 ~ R '
Ces valeurs de T et de Q, déterminées pour le point M',
1 L’équation de tout mouvement rectiligne produit par une force constante, et sans vitesse initiale, est
t = i çt», d’où Ç = ;
9 étant la force , « l’cspacc'parcouru et t le temps employé. Or dans le mouvement suivant la normale M'C, l’espace parcouru est M l, le temps est dt, et il n’y a pas de vitesse initiale au point de départ M', dans le sens 1 M'I
de M'C : donc Q= .
* MÉTHODE INFINITÉSIMALE. 235
conviennent également pour le point M; attendu que ces points étant infiniment voisins, la force est demeurée constante dans l’intervalle.
86. — Voilà certes, comme nous l’annoncions à la fin du n" 76 (renvoi de la page 21à), une démonstration beaucoup plus simple et rapide que celle obtenue par la méthode ordinaire. Mais au risque de trop nous répéter, qu’on nous permette encore de faire ressortir la complète identité, quant au fond, de cette démonstration avec celle du numéro précité.
Si nous avons pu considérer la force comme constante pendant un temps infiniment petit, c’est parce que l’espace parcouru sous l’action d’une pareille force ne diffère que par un infiniment petit d’ordre supérieur de l’espace parcouru sous l’action d’une force constante ; et si nous avons pu regarder M'M" comme appartenant au cercle osculateur, c’est parce que l’arc de courbe ne diffère de l’arc de cercle que par une quantité infiniment petite relativement à ces arcs eux-mêmes. Si enfin nous avons pu remplacer l’accroissement de l’arc par sa différentielle, et considérer M'M" comme étant aussi bien une corde du cercle qu’une portion de ^circonférence , c’est toujours parce que ces hypothèses introduisent des erreurs d’un tel ordre de petitesse, que les valeurs des limites n’en sont point altérées.
87. — Une des choses qui étonnent le plus les commençants, dans le problème précédent, c’est la diversité des points de vue sous lesquels on envisage le phénomène, selon les quantités qu’on se propose de calculer. Ainsi,
TROISlkME PARTIE.
quand il s’agit d’obteni!• la vitesse, on admet que le mouvement est uniforme ; quand on évalue la composante tangentielle,on le regarde comme rectiligne et uniformément varié; enfin quand on cherche la composante normale, on suppose que la direction varie d’un instant à l’autre. Ces diverses hypothèses sont marquées dans les formules dont
MM'
nous avons fait usage : 1“ nous avons écrit V
dt
ce qui est la même relation qu’on obtiendrait dans le cas où M M' serait parcouru d’un mouvement uniforme ; 2° nous
avons posé T = ^, ce qui implique que l’accroissement
de la vitesse, qui s’accomplit effectivement sur l’arc de courbe, peut être considéré comme ayant lieu sur la droite
M' T; 3° nous avons admis Q= > ce qu* implique
que le mouvement affecte une direction distincte de la tangente M'T, sans quoi M'1 serait identiquement nul. Il est facile de sc rendre compte de la raison d’être de chacune de ces hypothèses.
1° La vitesse étant exprimée par la limite du rapport de la longueur décrite au temps employé, on peut remplacer celte longueur par toute autre qui n’en diffère que par un infiniment petit du second ordre. On peut donc considérer MM' comme étant décrit avec une vitesse constante.
2° La composante tangentielle étant exprimée par la limite du rapport de l’accroissement de la vitesse au temps, sur la tangente , ou par la limite du rapport de la différence seconde de la longueur parcourue au carré du temps employé, on peut remplacer cette différence seconde par toute autre quantité qui en diffère par un infiniment petit
MÉTHODE INFINITÉSIMALE
Ju troisième ordre : or les éléments M'M” et M'K ont entre eux une différence du troisième ordre ; on peut donc les remplacer l’un par l’autre, ou considérer le mouvement comme s’exerçant suivant la tangente.
3° La composante normale étant égale à , a , et M'I
étant par conséquent du second ordre, on ne pourrait remplacer M'I que par une quantité dont la différence avec M'I sci ait du troisième ordre. Or, si l’on supposait le mouvement dirigé suivant M'T ou suivant toute direction autre que M'M", cela reviendrait à annuler M'I ou à le remplacer par une quantité dont la différence serait du second ordre ; ce qui altérerait la valeur de la limite. Voilà pourquoi il est nécessaire de tenir compte du changement de direction entre M M' et M'M" pour avoir la valeur de la composante normale *.
1 On peut constater comment la démonstration tient compte de ce que c’est suivant la tangente et la normale , et non pas suivant d’autres directions que. la dccomposilion de la force accélératrice est supposée effectuée. Dans la recherche de la composante tangcnlielle, ce qui permef
d’écrire T = > ou ce qui permet do substituer l’arc de courbe M'M" à
la portion de tangente M'K , c’est parce que ces éléments ne diffèrent entre eux que par un inOniment petit du 3' ordre ; et s’il en est ainsi , c'est parce que M’’K est perpendiculaire à M'T, ou parce que la force motrice est décomposée suivant les directions de la tangente et de la normale. SI Ton adoptait une direction différente de la normale, la difiérence entre les éléments de la courbe et de la tangente serait du 2 e ordle, ce qui ne permettrait plus la substitution.
