CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR L’ANALYSE INFINITÉSIMALE

• 88. — Si nous envisageons dans leur ensemble les considérations présentées dans les chapitres précédents, nous pourrons nous rendre compte plus exactement que nous ne l’avons fait au début de ce livre, de l’objet de la méthode infinitésimale et de son véritable rôle dans l’analyse.

I/objet de la méthode infinitésimale est, comme nous l’avons déjà indiqué, de ramener à une application de calcul différentiel ou intégral, c’est-à-dire à une pure affaire d’algèbre, le calcul des quantités qu’on ne sait pas exprimer directement en fonction des éléments connus de la question.

MÉTHODE INFINITÉSIMALE

Pour y parvenir, on considère ces quantités comme des limites de rapports ou des limites de somrn es de termes infiniment petits.

Il faut ensuite donner à ces rapports et à ces sommes une forme analytique qui permette d’en calculer les limites par les procédés de la différentiation ou de l’intégration ; ce qui conduit à chercher des relations entre les infiniment petits qui forment les termes de ces rapports ou de ces sommes, et les éléments de la question.

Cette élaboration est entièrement fondée sur le Principe de la substitution des quantités infinitésimales, d’après lequel on peut remplacer l'un par l’autre, dans un calcul de limites, deux infiniment petits qui ne diffèrent entre eux que par un infiniment petit d’ordre supérieur. Ce principe sert non-seulement à faciliter l’établissement des relations dont il s’agit, mais il est l’essence même de la méthode et la condition nécessaire de son efficacité 1 .

Une des manières les plus commodes de faire usage du principe de la subtitution, consiste à assimiler les infiniment petits pouvant être substitués l’un à l’autre : de

1 En effet toute l’utilité des considérations infinitésimales vient évidemment dç ce que les infiniment petits dont la somme ou le rapport a pour limite la quantité cherchée , ne sont pas des parties intégrantes de cette quantité, mais en diffèrent, au contraire, nécessairement. Si, par exemple, au lieu de considérer un arc de courhc comme la limite de la somme des cordes inscrites , on se bornait à le décomposer en une infinité de pailles, chacune de ces parties , étant de même nature que l’arc lui-même, offrirait des difficultés identiques pour être exprimée en fonction des éléments connus de la question. On n’échappe à ces difficultés que par la possibilité de substituer à ces parties d’arc d’autres infiniment petits, tels que les cordes inscrites, pour lesquels la recherche des relations ne rencontre pas les mêmes obstacles.