TROISIÈME PARTIE

telle sorte que sans montrer chaque fois, dans le cours des raisonnements, qu’on se borne à des applications légitimes de ce principe, on accepte d’avance comme valablesles relations obtenues à l'aide des infiniment petits plus simples auxquels les autres ont été assimilés. Mais si une pareille marche est souvent plus rapide, il faut se garder de croire qu’elle soit, quant au fond, distincte de la précédente, et qu’on puisse l’en rendre indépendante.

89. — Lorsque Leibnitz fit connaître sa nouvelle analyse, il la présenta à peu près sons la forme de la méthode d’assimilation. Ainsi, les courbes étaient considérées par lui comme des polygones d’un nombre infini de côtés infiniment petits , les mouvements variés comme une succession de mouvements uniformes, les surfaces courbes comme des polyèdres, etc. Eu un mot, les quantités étaient, pour ainsi dire, décomposées en élément e- d’une nature plus simple, dont, par conséquent, les relations-devaient être plus faciles à saisir. Cette méthode de décomposition 1 était d’ailleurs basée, comme elle doit l’élre, sur le principe de la substitution des quantités. Mais ce principe était plutôt affirmé que démontré ; et l’on n’indiquait pas la cause véritable de sa rigueur, qui provient de ce que la quantité qu’il s’agit, en dernier ressort, de calculer, est une limite , c’est-à-dire une quantité fixe, dont la valeur ne peut être influencée par les altérations infiniment petites des divers termes qui y figurent. Il est permis de croire que l’illustre inventeur lui-même ne s’en rendait pas un

1 La dénomination d' Analyse infinitésimale (en grec ivaXûo, analyser, décomposer ), caractérisé parfaitement cette nature de procédé.

MÉTHODE INFINITÉSIMALE

compte parfaitement exact ; car pressé par les objections qui lui venaient de divers côtés, il répondait qu'il traitait les infiniment petits comme des incomparables, et qu’il les négligeait vis-à-vis des quantités finies comme des grains de sable par rapport à la mer'. Aussi ne doit-en pas s’étonner des controverses qui s’engagèrent pendant

1 Carnot a dépeint cette situation dans le passage suivant :

« Leibnitz, qui le premier donna les règles du calcul infinitésimal, l’établit sur ce principe : qu’on peut prendre à volonté l’une pour l’autre deux grandeurs finies qui ne diffèrent entre elles que d’une quantité infiniment petite. Ce principe avait l’avantage d'une extrême simplicité et d’une application très-facile. 11 fut adopté comme une espèce d’axiome, et l’on se contenta de regarder ces quantités infiniment petites comme moindres que toutes celles qui peuvent être appréciées ou saisies par l’imagination. Bientôt ce principe opéra des prodiges entre les mains de Leibnitz lui-même, des frères Bcrnouilli, de l’Hôpital, etc. Cependant il ne fut pas à l’abri des objections : on reprocha à Leibnitz : 1° d’employer l’expression de quantités infiniment petites sans l’avoir préalablement définie ; 2° de laisser douter, en quelque sorte, s’il regardait son calcul comme absolument rigoureux, ou comme une simple méthode d’approximation.

L’illustre auteur et les hommes célèbres qui avaient adopté son idée, se contentèrent de faire voir, par la solution des problèmes les plus difficiles, la fécondité du principe , l’accord constant de son résultat avec ceux de l'analyse ordinaire, et l’ascendant qu’il donnait aux nouveaux calculs. Ces succès multipliés prouvaient victorieusement que toutes objections n'étaient que spécieuses; mais ces savants n’y répondirent point d’une manière directe, et le nœud de la difficulté resta. Il est des vérités dont tous les esprits justes sont frappés d’abord, et dont cependant la démonstration rigoureuse échappe longtemps aux plus habiles.

« M. Leibnitz, dit d’Alembert, embarrassé des objections qu’il sentait « que l’on pouvait faire sur les quantités infiniment petites, telles que les « considère le calcul différentiel, a mieux aimé réduire ses infiniment pc- « tits à n’étre que des i ncomparablcs ; ce qui ruinerait l’exactitude géo « métrique des calculs. »

( Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitésimal, p. 25, 4* édition).