PREMIÈRE PARTIE

L’analyse s’occupe spécialement des fonctions continues. Un y admet aussi, à la vérité, les fonctions dans lesquelles la continuité n’est pas indéfinie, ou qui présentent ce qu’on est convenu de nommer des solution s de continuité, correspondant à certaines valeurs singulières des variables. La continuité doit exister d’ailleurs dans l’intervalle de ces valeurs singulières. Par exemple, la fonction qui exprime la tangente d’un arc est continue pour toutes les valeurs de l’arc plus grandes que 0 et moindres que 90°; la tangente devient négative eu passant par une valeur infinie dès que l’angle est supérieur à 90°. De môme la fonction y

- ; est continue pour toutes les valeurs de x

sin a — sut x

moindres que a ; mais quand l’angle atteint celte valeur, la fonction devient infinie, pour changer de signe et rester négative jusqu’à ce que x augmentant toujours passe par la valeur r. — a.

A vrai dire, une semblable discontinuité ne mérite pas ce nom, car en restreignant convenablement le champ des variations de la variable indépendante, la fonction jouit pleinement du caractère de la continuité.

On aurait un exemple de fonction réellement discontinue, en posant y = (— a) x , a désignant un nombre positif. Si l’on conçoit les valeurs successives de la variable x

mises sous une forme fractionnaire-, la fonction y sera

égale à y ( — «)p . Toutes les fois que/) sera un nombre impair et q un nombre pair, la valeur de y sera imaginaire ; elle sera, au contraire, réelle si/> est pair. Or, en prenant p et q suffisamment grands, on peut, tout en faisant varier x très-peu, lui attribuer successivement une infinité de ces

NOTIONS FONOAMtNTAI.I S.

valeurs fractionnaires qui, déterminant tantôt une valeur réelle, tantôt une valeur imaginaire pour y, ne correspondent a aucune continuité dans les variations de cette fonction.

Conformément aux usages reçus , lions ne nous occuperons pas des fonctions discontinues.

ch ap uni: m.

limites et Infiniment petits.

S. — Quand les valeurs sueeessives d’une quantité variable approchent indéfiniment d’une quantité fixe et déterminée, de manière à en différer a un ni peu qu’on le veut, celle quantité fixe est dite la limite des valeurs de ha variable.

C’est ainsi que l’aire d’un cercle est la limite des polygones inscrits et circonscrits ; que le cône est la limite des pyramides inscrites et circonscrites ; que la parabole est la limite des ellipses dont le grand axe augmenté indéfiniment ; que l’asymptote à l’hyperbole est la limite des tangentes dont le point de contact, s’éloigne indéfiniment du sommet, etc., etc.

Pour être assuré qu’une quantité fixe est la limite d’une variable, il ue suffit pas de constater que la différence di-

NOTIONS FONDAMENTALES

minue de plus en plus : il faut encore prouver que celte différence peut devenir moindre que toute quantité donnée. Par exemple, toute parallèle à la direction de l’asymptote satisferait à la condition que les tangentes en approchent de plus eu plus : cependant ce ne serait pas là une limite, parce que la différence entre ces tangentes et la parallèle en question ne pourrait pas être rendue moindre que la distance qui sépare la parallèle de l’asymptote. De mémo les polygones inscrits dans un cercle ne sauraient avoir pour limite tout autre cercle concentrique au précédent, si minime d’ailleurs que fût la différence des rayons.

Cette condition essentielle que la différence entre la limite et la variable soit susceptible de descendre au-dessous de toute grandeur assignée, a pour conséquent immédiate qu’une variable ne peut avoir qu’une seule limite. On conçoit dès lors que la loi des variations d’une quantité étant connue, la limite, s’il en existe, se trouve parfaitement déterminée ; bien qu’on puisse , à la vérité , ne pas savoir la calculer effectivement.

Il ne faut pas confondre la définition que nous venons de donner de la limite, avec l’acception attribuée quelquefois — mais à tort — au même mot, pour désigner la plus grande ou lapins petite valeur que puisse recevoir la variable. C’est dans ce sens "qu’on dit que le diamètre est la limite des cordes du cercle , que le rayon est la limite des sinus et des cosinus, etc. Nous 11’emploierons jamais le mol dans cette acception. Ce qui caractérise la limite telle que nous l’avons définie, c’est à la fois que la variable puisse en approcher autant qu’on le veut, et néanmoins qu 'elle ne puisse jamais l’atteindre rigoureusement ; éar, pour satisfaite à celte dernière condition , il faudrait

PREMltBF. PARTIE,

la réalisation d’une certaine infinité , qui nous est nécessairement interdite. Ainsi, pour que les polygones se confondissent exactement avec le cercle, il faudrait que le nombre des côtés devînt infini ; pour que la tangente à l’hyperbole coïntidàt avec l'asymptote, il faudrait que le point de contact fût reculé à l’infini. La condition d’infinité, mêlée à ces questions, leur enlève toute espèce de sens; on doit s’en tenir à l’idée d’une approximation indéfinie , c’est-à- - dire de plus en plus grande à mesure que le nombre des côtés du polygone ou l’éloignement du point de contact de l’liyperbole augmente davantage.

9. — La notion de limite se rattache à une particularité intéressante : celle de deux définitions complètement distinctes , et dont les objets tendent néanmoins à se confondre.

üélinir un objet c’est en marquer des caractères tels qu’il ne puisse être confondu avec aucun autre. Si la confusion était possible , la définition serait nécessairement fausse ou incomplète. Quand on définit l’ellipse : Le lieu des pointe dont les distances à deux points fixes font une somme constante ; et la parabole : Le lieu des pointe qui sont à égale distance d’un point fixe et d’une droite donnée , on satisfait évidemment aux conditions logiques d'une bonne définition ; car l’ellipse et la parabole se trouvent parfaitement distinguées l’une de l’autre. Mais ce qui se produit, c’est qu’à mesure qu’un des points fixes de l’ellipse s’éloigne davantage, les deux courbes sont de moins en moins distinctes ; de telle sorte qu’on arrive à ce résultat extrême que deux énoncés logiquement différents

ne représentent plus qu’une seule et même chose. Mais

NOTIONS FONDAMENTALES

celle circonstance n’infirme point la validité des définitions, puisque la confusion ne se manifeste qu’à l'infini.

Le propre de la limite et ce qui fait que la variable ne l’atteint jamais exactement, c’est d’avoir une définition autre que celle de la variable ; et la variable de son côte, tout en approchant de plus en plus de la limite, ne doit jamais cesser de satisfaire à sa définition primitive. Cette distinction entre les définitions de la limite e# de la variable se retrouve partout. On le vérifiera aisément dans les divers exemples de limites que nous aurons lieu d’étudier par la suite; et pour n’en citer qu'un seul, des plus usuels,, celui de la tangente considérée comme limite dés sécantes, qui ne voit que la tangente satisfait à la définition de n’avoir qu’un point commun avec la couébc, tandis que le propre de la sécante est, au contraire, d’en avoir deux? Cette circonstance capitale, de deux définitions logiquement distincte, »,et telles, néanmoins, que les objets définis peuvent s’approcher de plus en plus l’un de l’autre, rend compte de ce que paraît avoir d’étrange, au premier abord, l'impossibilité d# faire coïncider exactement deux quantités dont on est maître d’ailleurs de diminuer la différence au delà de toute expression.

10. — Une quantité variable n’est pas nécessairement toujours plus petite ou toujours plus grande que la limite dont elle s’approche indéfiniment; il peut arriver, au contraire, qu’elle devienne alternativement plus grande et plus petite que cette limite, en oscillant pour ainsi dire de part et d’autre. ■

Ainsi le rapport du sinqs à l’arc tend vers zéro à mesure qucfctrc augmente; mais chaque fois que l’arc devient égal

PBliMltRE PARTIE.

à un multiple de la demi-circonférence , le rapport est nul et change de signe ; en sorte que ce rapport, alternativement positif et négatif, oseille réellement autour de zéro, en s'en écartant de moins en moins, pendant que l’arc augmente indéfiniment.

Il ne faudrait point dire que, la limite en puestion étant zéro, le rapport variable se confond rigoureusement avec celte Hmite, lorsque l'arc est égal à un multiple exact de la demi-circonférence; — et que, par 1 1 , se trouve infirmé le principe sur lequel nous avons insisté, à savoir que la variable ne peut jamais coïncider avec sa limite. — Remarquons en effet que lorsque l’arc est supposé égal à un multiple de la demi-circonférence, le rapport dont il s’agit n’a plus aucun sens ; car il n’y a pas de sinus correspondant à un tel arc. Far suite, la quantité variable (le rapport du sinus à l'arc), qui implique l’existence d’un sinus, cesse de satisfaire à sa définition primitive, et c’est pourquoi la limite paraît atteinte contrairement nu principe général. Notre illusion à cet égard tient à ce que, pour passer d’un arc un peu plus petit qu’un multiple exact de la demi-cir- • conférence à un arc un peu plus grand, nous passons graphiquement par un point intermédiaire pour lequel, à proprement parler, la variable cesse d’exister avec la ligne trigonométrique qui lui donne naissance.

11. — On nomme quantité infiniment petite ou simplement infiniment petit une quantité variable qui peut approcher de plus en plus de zéro, de manière à en différer aussi peu qu’on le veut, mais sans pouvoir jamais être rigoureusement nulle.

Cette définition rentre dans la définition générale^ la

NOTIONS FONDAMENTALES

limite : clic correspond au cas particulier où la limite est supposée égale à zéro.

On peut dire aussi que la notion de limite implique * l’idée corrélative d’infiniment petit; car de cc qu’une variable en général approche de plus en plus d’une quantité fixe, il s’ensuit que la différence entre cette quantité fixe et la variable tend indéfiniment vers zéro sans pouvoir néanmoins être nulle, c’est-à-dire est une quantité infiniment petite.

Mais afin de ne pas restreindre la portée de la notion, il convient d'envisager l'iuUniment petit en lui-même, sans le rattacher à une limite et à une variable dont il soit la différence. Il y a, en effet, bien d’antres manières de concevoir la génération d’un infiniment petit : on pourrait, par exemple, le faire résulter d’une fraction dont le numérateur serait constant et le dénominateur indéfiniment croissant, ou encore d’une puissance dont le degré augmenterait indéfiniment et dont la base serait moindre que l'unité, etc., etc. ,

L'infinimcnt petit n’est pas une quantité Prêt-petite, ayant une valeur actuelle, susceptible de détermination.

Son caractère est d’ètre éminemment variable et de pouvoir prendre une valeur moindre que toutes celles qu’on voudrait préciser. Il serait beaucoup mieux nommé indéfiniment petit,- mais la première appellation ayant prévalu dans l'usage, nous avons cru devoir la conserver '.

1 Cette notion de l’inltniment petit a été admirablement développée par Carnot, dans ses Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitésimal (voir notamment pages IC , 17 et 18). Avant cc géomètre, on avait, il faut le reconnaître, des idées assez confuses et même fausses sur la nature des Infiniment petite, tels qu’ils sont introduits dans le calcul.

rKF.Mli.nE PARTIE.

Par opposition à l'infuiimcul petit, on nomme quantité, infiniment grande ou simplement infiniment grand une quantité qui peut augmenter au delà de toute expression.

L’infiniment petit et l’infiniment grand sont les deux modes extrêmes de la quantité qui, dans ses variations, tend vers le néant ou vers l'infini.

Le rapport d'une quantité finie à un infiuimenL petit est un infiniment grand, et son rapport à un infiniment grand est un infiniment petit : ou, si l’on veut, le produit de ces deux indéfinis opposés est une quantité finie.

12. — Les notions de fonction et de variable sont , comme on l'a vu, suggérées naturellement par l'élude des phénomènes et par 1a résolution des problèmes de toute sorte. H en est de même de celles de limite et d’infiniment petit : c'est ce que montrent, à chaque pas, les plus simples questions qu’on puisse se proposer.

S'agit-il, par exemple, de la mesure d’un arc de courbe; tout d’abord et indépendamment des moyens quelconques mis en œuvre pour l’obtenir, se présente celte question préliminaire : Qu’est -ce que la longueur d’une ligne courbe ?

On ne peut plus répondre, comme pour la ligne droite, qne c'est le nombre de fois qu’elle contient l’unité de longueur 1 ; car comment concevoir qu’une mesure rectiligne puisse être portée sur un développement curviligue? On se tire ordinairement d'embarras en disant que la lon-

1 La mesure de la ligne brisée ne se distingue pas de celle, de la ligne droite, puisque chacune de ses parties est individuellement rectiligne.

NOTIONS FONDAMENTALES

gueur de la courbe est celle d’un fil flexible et inextensible

qui coïnciderait exactement avec elle et qu’on étendrait ensuite en ligue droite. Mais la difficulté n’est que reculée. En admettant même que le fil soit doué des propriétés physiques supposées (flexibilité et ihextensibililé parfaites), reste la question d’assurer sa coïncidence avec la couibe. Il est visible que les moyens employés pour y parvenir se réduisent tfn définitive à le faire passer par un certain nombre de points de la courbe, et à considérer la coïncidence comme exacte quand les points sont suffisamment rapprochés. Or, si grand que soit ce rapprochement, les points n’en sont pas moins parfaitement distincls, et les portions de fil qui les joignent deux à deux distinctes aussi des portions de courbe dont elles forment les cordes. La coïncidence qu’il s’agissait d’établir revient donc à inscrire dans la courbe un polygone formé d’un très-grand nombre de côtés très-petits, et c’est la longueur du périmètre de ce polygone qu’on prend pour la longueur de la courbe elle-même. On comprend d’ailleurs très-bien que le résultat ainsi obtenu est d’autant plus près de la vérité que le nombre des côtés est plus grand : en d’autres termes, on envisage la courbe comme la limite des polygones inscrits. Pour justifier ce point de vue, il faut, d’après la définition générale des limites, prouver que la différence entre la longueur inconnue de la courbe et la longueur des périmètres inscrits peut être rendue moindre que toute quantité donnée, en augmentant convenablement le nombre des côtés. Nous n’avons pas à nous occuper, en ce moment, de la démonstration quelconque dont on peut faire usage : nous aurons occasion d’y revenir plus tard. Il s’agit seulemcut ici de montrer comment l’idée de limite se pré-