TROISIÈME PARTIE

longtemps sur celte question, et qui contribuèrent sans doute à retarder, par les opinions extrêmes qu’elles firent naître, l’établissement des bases véritables de l’analyse.

90. — Parmi les géomètres, les uns, fidèles à l’idée première de Leibnitz, conservèrent sa méthode et cherchèrent à en éclairer les principes pour la mettre à l’abri de toute attaque. Ce qui a manqué à cette élaboration, c’est de fonder le principe de la substitution des quantités sur la considération des limites. Le dernier terme des efforts tentés dans ce sens, a abouti à l’œuvre si connue de Carnot : Réflexions sur la métaphysique du Calcul infinitésimal. Cet écrit, remarquable à plus d’un litre, a fait véritablement époque dans l’histoire de l'analyse : aussi mérite-t-il une mention tonte spéciale.

Carnot fonde la rigueur de la méthode leibnitzienne sur une conception très-ingénieuse, généralement connue sous le nom de principe de la compensation des erreurs. Son argumentation repose essentiellement sur ce que les erreurs, s’il y en avait dans le résultat final, seraient nécessairement de même nature que les quantités infiniment petites qui les ont engendrées. Or, ces quantités, disparaissant toujours par le fait même de la différentiation ou de l’intégration, il n’en subsiste aucune trace dans les équations finales. Celles-ci sont donc nécessairement et rigoureusement exactes.

Une telle démonstration, bien que vraie au fond, n’est pas satisfaisante pour l’esprit, car elle semble confondre le signe de l’effet avec la cause elle-même. On voit bien que si les quantités infiniment petites ont disparu, le résultat ne peut être erroné, mais on ne voit pas pourquoi

MÉTHODE INFINITÉSIMALE

ces infiniment petits disparaissent inévitablement , et pourquoi en les supprimant on rétablit l’exactitude des relations.

C’est le point qu’éclaire supérieurement la considération des limites ; car s’il est vrai que la limite d’un rapport ou d’une somme d’infiniment petits n’est pas altérée parla présence d’infiniment petits d’ordres supérieurs, on aperçoit très-nettement que le résultat final, qui n’est autre que la valeur même de la limite, ne saurait en garder de trace, et que dès lors il est indifférent de conserver momentanément ou de supprimer tout de suite ces infiniment petits inutiles, destinés, malgré qu’on eu ait, à disparaître des relations dernières.

Les équations appelées imparfaites par Carnot sont donc , à proprement parler, des équations d’attente ou de transition, qui sont rigoureuses en tant qu’on ne les fera servir qu’au calcul des limites, et qui seraient, au contraire, absolument inexactes, si les limites ne devaient pas être prises effectivement. Il suffit d’avoir présente à l’esprit la destination définitive des calculs, pour n’éprouver aucune incertitude sur la valeur des relations par lesquelles on passe : il faut voir dans chacune d’elles, non pas ce qu’elle paraît exprimer actuellement , mais ce quelle exprimera plus tard, quand on prendra les limites.

91. — On nous fera remarquer peut-être que Carnot s’est bien gardé de' présenter la solution en ces termes, et qu’il ne s’est pas borné à la recommandation , pour ainsi dire machinale, de supprimer purement et simplement, dans les équations dernières, les infiniment petits qui se seraient introduits dans le cours de l’élaboration.