TROISIÈME PARTIE

dans lesquelles figureront des expressions de différentielles; tt, d’autre part, que la substitution des valeurs de ces différentielles, calculées d’après les équations données, apportera une autre cause d’imperfection. Les équations doublement imparfaites ainsi obtenues redeviennent parfaites par la disparition des erreurs qui s’v compensent. On peut étudier celte marche dans les divers problèmes traités par l’auteur ; par exemple, dans celui de la recherche de la sous-tangente de la courbe qui a pour équation (n° 72 de l’ouvrage cité)

ay m+n = x m (a — x) “ .

La courbe étant considérée comme un polygone d’un nombre infini de côtés, on obtient, en suite de cette hypothèse, une première expression imparfaite de la sousdx

tangente , yj^ , dans laquelle dy représente une diffé-

rence. D’autre part , la différentiation de l’équation de la courbe fournit pour ^ une valeur

(m + n) ay m + n - i

ni (a — x) n x m ~ l — nx m (a — x)" -1 ’

qu’on doit considérer aussi comme imparfaite, puisque dy, qui est une différence, s’y trouve calculée comme si elle était simplement égale au produit de la dérivée par l’ac-

dx

croissement de la variable. Celte valeur de -r- , substituée

dy

dans l’expression de la sous-tangente, donne :

MÉTHODE INFINITÉSIMALE

sous-tangente

(»» + n) (a — x) x m ( a — x) — nx ’

« équation, dit Carnot, qui, étant dégagée de toute consi- « dération de l'infini, est rigoureusement exacte, et me « donne la valeur cherchée de la sous-tangente (p. 60). »

C’est à de semblables résultats que s’applique justement notre objection ; car pourquoi les erreurs se compensentelles? iXous voyons bien que cela a lieu, mais nous 11e voyons pas par quelle cause.

Cette difficulté avait été profondément sentie par Lagrange, et c’est ainsi qu’il la met en relief dans sa Théorie des fonctions analytigues :

« Il me semble que comme dans le calcul différentiel, « tel qu'on l’emploie, on considère et on cacule, en effet, « les quantités infiniment petites ou supposées infiniment « petites elles-mêmes, la véritable métaphysique de ce « calcul consiste en ce que l’erreur résultant de cette « fausse supposition est redressée ou compensée par celle « qui naît des procédés mêmes du calcul, suivant lesquels « on ne retient dans la différentiation que les quantités « infiniment petites du même ordre. Par exemple, en re- « gardant une courbe comme un polygone d’un nombre « infini de côtés chacun infiniment petit, et dont le pro- « longement est la tangente de la courbe, il est clair qu’on « fait une supposition erronée ; mais l’erreur se trouve « corrigée dans le calcul par l’omission qu’on y fait des « quantités infiniment petites. C’est ce qu’on peut faire voir « aisément dans des exemples, mais dont il serait pent-

2i8 TROISIÈME PARTIE.

« être difficile de donner une démonstration générale.

92. — Tandis que l’école leibnilziennc admettait les infiniment petits et négligeait les limites, d'autres géomètres, au contraire, empruntaient les limites et rejetaient absolument les infiniment petits , obéissant en cela au sentiment que Lagrange exprimait plus tard : « Mais il « faut convenir, dit-il dans sa Théorie des fonctions ana- « lytiques, que celte idée, quoique juste en elle-même, « n’est pas assez claire pour servir de principe à une « science dont la certitude doit être fondée sur l’évidence, « et surtout pour être présentée aux commençants. » Ils édifièrent donc le calcul infinitésimal sur la notion exclusive des limites ; et, dans les rapports ou les sommes de quantités convergeant vers zéro, ils ne virent plus que les limites mêmes de ces rapports ou de ces sommes, sans vouloir considérer aussi, individuellement, les termes qui les composent. Dans un pareil système , l’expression

■ ^ ' , par exemple, ne représente rien, et c’est l’expression lim - qui seule a une signification. A plus forte

raison les termes ±f{x) et Aar, qui figurent dans le rapport, ne peuvent-ils jamais être envisagés séparément. En un mot, on a des dérivées et des intégrales (limites de rapports ou de sommes), mais on n’a pas d’accroissements infiniment petits. Un tel point de vue est incontestablement rigoureux, mais offre un inconvénient capital : celui de se prêter fort mal à la mise en équations des problèmes. C’est ce dont il est aisé de se rendre compte en examinant les procédés que nous avons déduits de la considération directe des infiniment petits. La faculté, évidemment si

MÉTHODE INFINITÉSIMALE

commode, de remplacer à tout instant, dans le calcul, un infiniment petit quelconque par un autre qui n’en diffère que d'un infiniment petit d’ordre supérieur, celte faculté, dis-je, échappe complètement*. On peut dire que la méthode des limites avait perdu en simplicité ce qu’elle avait gagné en rigueur sur sa rivale.

93. — La divergence des points de vue que nous venons de signaler était duc à la démarcation profonde obstinément établie entre la notion de limite et celle d 'infiniment petit. Et vraiment on s’en étonne quand on voit combien est étroite la connexion naturelle de ces deux conceptions. Comment, en effet, concevoir une limite sans un infiniment petit correspondant? Puisqu’une limite est une valeur fixe dont s’approche une quantité variable, la différence entre cette limite et la variable n’est-elle pas une quantité décroissant indéfiniment et pouvant être rendue aussi petite qu’on le veut, c’est-à-dire un infini-

1 M. Auguste Comte, bien que placé à un point de vue très-différent du nôtre, — puisqu'il repousse la conception des infiniment petits — n’en a pas moins caractérisé les inconvénients dont nous parlons. « D’un autre

• côté, dit-il, elle (la notion exclusive des limites) est bien loin d’offrir, « pour la solution des problèmes, d’aussi puissantes ressources que la mé- « thode infinitésimale. Celte obligation qu’elle Impose de ne considérer

* jamais les accroissements des grandeurs séparément et en eux-mêmes, « ni seulement dans leurs rapports, mais uniquement dans les limites de « ces rapports, ralentit considérablement la marche de l’intelligence pour ■ la formation des équations auxiliaires. On peut même dire qu'elle gêne « beaucoup les transformations purement analytiques. Aussi le calcul « transcendant, considéré séparément de ses applications , est-il loin « d’offrir dans cette méthode l’étendue et la généralité que lui a imprl- « mées la conception de l.eibnitz. ■ (Cours de Philosophie positive, t. l",p. 189.)