TROISIÈME PARTIE

de se passer de la notion de limite, eu appelant vitesse d’un mouvement varié la vitesse du mouvement uniforme qui s’établirait, si toutes les forces motrices cessaient subitement leur action. Une telle définition a le vice radical d'impliquer la connaissance de la loi d’inertie, dont elle doit rester indépendante : les lois ne peuvent servir qu’à calculer les quantités et nullement à les définir'.

96. — Lagrange a entièrement fondé sa méthode sur la théorie du développement des fonctions en séries.

Il commence par établir que toute fonction, algébrique ou transcendante, de la forme f(x+K), peut être déveoppée en une série ordonnée suivant les puissances positives, entières et ascendantes de h, et qu’on a dans tous les cas :

celle série étant terminée ou non, selon la nature de la fonction f(x+h).

Quant aux fonctions ep(;r), 'J'OO, /Or),.... qui servent de multiplicateurs aux puissances de h, et qui en sont indépendants, Lagrange démontre quelles se rattachent les unes aux autres par une loi constante, c’est-à-dire que <}(x) dérive de comme de /(a"), et yfx') dérive de t(.Qc) comme ^Qr) de <^(V) ; et ainsi de suite. De telle

« dont nos observations matérielles cherchent à se rapprocher de plus en « plus. »

1 11 faut étudier cette méthode dans les ouvrages mêmes de Lagrange : Théorie des fonctions analytiques et Calcul des fonctions.

MÉTHODE INFINITÉSIMALE

sorte que si l’on sait dériver de la fonction donnée la première fonction <ÿOr), on saura dériver successivement toutes les autres. Cette loi de dérivation est précisément celle qu’on établit d’après d’autres considérations dans le calcul différentiel. Lagrange obtient ainsi pour l’expression de la même fonction trouvée précédemment pour représenter la limite du rapport des accroissements des deux variables, ou ce qu’on a nommé la fonction dérivée. Le développement ci-dessus prend la forme connue :

A* L A) = fix) + f'{x) h + f"(x) ~ + r (*) 1^3 + • • • •

Cette série n’est autre que celle de Taylor, et se trouve ainsi établie par des considérations directes et indépendamment de toute notion de limite et d’infiniment petit. Les dérivées dont on y fait usage ont un caractère purement algébrique, ce qui remplit le but que l’auteur s’était proposé.

97. — Reste à voir maintenant comment celte nouvelle conception des fonctions dérivées peut s’adapter à la solution des divers problèmes.

C’est ici la partie vraiment faible de la méthode, et qui présente d’insurmontables difficultés à son application '.

* Il y aurait aussi bien des choses à dire sur la démonstration ellemême de la série de Taylor, telle que la donne Lagrange. Celte démonstration est loin d’être inattaquable. M . Cournot a présenté, à ce sujet, d’cxcellentes réflexions dans son Traité élémentaire de la théorie des fondions ; je citerai notamment le passage suivant : (tome 1", p. 178). « Le dévelop- « pement en série n’a de sens que lorsqu’il mène à une série convergente ,