CHAPITRE IL

CONTINUITÉ. — SOLUTIONS DE œNTINUlTÉ.

7. — On dit qu'une fonction est continue lorsqu'on peut toujours assigner aux variables indépendantes des valeurs assez voisines pour que la différence des valeurs correspondantes de la fonction soit inférieure à toute grandeur donnée.

Les fonctions qui ne présentent pas ce caractère sont ëvidenuBent biea moins mportantes à coomdértr^ ctf elles ne sauraient se rapporter à aucun phénomène naturel. Dans Tordre pbysiqtie tout s'accomplit sans transition bruscpie) et les valeurs d'un mène ëlëoient phénoménal se siiccèdeot d*une manière graduelle. CeUe vérité, reconnue de tout teiups, avait donné lieu à l'adage philosophique : Natura non faeit êallum.

L'analyse s'occupe spécialement des fondions continues. On y admet aussi, à la vérité, les fonctions dans lesquelles la continuité n'est pas indéfinie, ou qui présentent ce qu'on est convenu de nommer des golutions de cofitinuité, correspondant à certaines valeurs singulières des variables. La continuité doit exister d'ailleurs dans l'intervalle de cei valeurs singulières. Par exemple, la fonction qui exprime la tangente d'un arc est continue pour toutes les valeui^ de l'arc plus grandes que et moindres que 90°; la tangente devient négative en passant par une valeur infinie

dès que l'angle est supérieur à 90"". De même la fonction

-; ; — est continue pour toutes les valeurs de ût

sin a — sin a: '

moindres que a ; mais quand l'angle atteint cette valeur,

la fonction devient infinie, pour changer de signe et rester

négative jusqu'à ce que a? augmentant toujours passe par

la valeur t: — a.

A vrai dire, une semblable discontinuité ne mérite pas ce nom, car en restreignant convenablement le champ des variations de la variable indépendante, la fonction jouit pleinement du caractère de la continuité.

On aurait un exemple de fonction réellement discontinue, en posant y = (— a)^, a désignant un nombre positif. Si l'on conçoit les valeurs successives de la variable x

mises sous une forme fractionnaire^, la fonction y sera

égale à y (— a)p . Toutes les fois que/> sera un nombre impair et q un nombre pair, la valeur de y sera imaginaire ; elle sera, au contraire, réelle si p est pair. Or, en prenant p 01 q suffisamment grands, on peut, tout en faisant varier a: très-peu, lui attribuer successivement une infinité de ces

NOTIONS FONDAMENTAM.S. 17

valeurs fractionnaires qui , déterminant tantôt une valeur réelle, tantôt une valeur imaginaire pour y, ne correspondent à aucune continuité dans les variations de cette fonction.

Conformément aux usages reçus , nous ne nous occuperons pas des fonctions discontinues.