DE FONCTIONS

1. — On dit que deux quantités sont fanction Tune de Tautre lorsque la valeur de l'une d'elles étant fixée, la valeur de l'autre s'ensuit, et réciproquement.

La surface d'un cercle et son rayon , l'espace parcouru par un corps tombant librement dans le vide et la durée de sa chute , sont des quantités fonction l'une de l'autre ; car la longueur du rayon détermine l'aire du cercle, et la durée de la chute en détermine la hauteur.

La dépendance réciproque s'établit au moyen d'une relation analytique y qu'on nomme équation. — C'est à dessein que nous disons analytique : voulant faire entendre par là que la relation supposée est exprimable avec les algorithmes de l'Analyse. Il y a une foule de relations

naturelles, que nous sommes impuissants à exprimer sous une forme analytique; ce ne sont pas là de véritables équations, et nous n'avons pas à nous en occuper ici *.

Toute fonction implique une équation ; et, inversement, toute équation implique une fonction : ou plutôt c'est une seule et même idée sous des termes difierents.

Les deux quantités, fonctions Tune de l'autre, étant liées par une seule équation, peuvent recevoir chacune une infinité de valeurs différentes; à la condition que ces valeurs satisfassent toujours à l'équation donnée. Pour ce motif on donne aux quantités le nom de variables. Celle qu'on

* « On se forme ordinairement une Idée beaucoup trop tague de ce que « c'est qu'une équation lorsqu'on donne ee nom à toute espèce de rela- « tion d'égalité entre des fonctions quelconques des grandeurs que l'on « oonsidère. Car si toute équation est évidemment une relation d'égalité, M il s'en faut de beaucoup que, réciproquement, toute relation d'égalité soit « une véritable équation ^ du genre de celles auxquelles, par leur nature, « les méthodes analytiques sont applicables

« Il y a là un vice logique qu'il importe beaucoup de rectifter.

« Pour y parvenir je distingue d'abord deux sortes de fonctions : les « fonctions abstraites, analytiques, et les fonctions concrètes. Les prem mières peuvent seules entrer dans les véritaMcg équationn, crt sotte qtf on « pourra déscrmaia définir^ d'une manière exacte et ^ffisailinmit approm fondie, toute équation une relation d'égalité entre des fonctions « abstraites des grandeurs considérées.

« Les fonctions que j'appelle abstraites sont celles qui expriment entre « dès grandeurs toi mode de dépendance qu'on peut éonceveir tmlqtie- « ment entre nombres, sans qu'il soit besoin d'indiquer aucun phénomène « quelconque où il se trouve réalisé. Je nomme, au contraire, fonctions « concrètes celles pour lesquelles le mode de dépendance exprimé ne peut « être déûni ni cofiçu qu'en assignant un cas physique détermifié^ géo- « métrique, mécanique ou de toute autre nature, dans lequel tf ait efifec- « tivcment lieu.

« La plupart des fonctions, à leur origine, celles même qui éont an- « jourd'bui le plus purement abstraites , ont càmïoméé pa Hlè <Km-

NOTIOnS fONDAMEirrALES. 7

cboisU pour ta faire tarier dtre^eaw»!, d'one manière arbitraire^ e»! dite yariabie indépendante; et l'autre, q«i varie en conséquence des yaleurs atlribnées à la première, est nommée variable dépendante. C'est à celle-ci que s'applique plus particulièrement la qualification de fonction : lorsqu'on dit que la variable y est fonction de la variable Xj il est sotts-entendtt que la variable se est prise coonne indépendante relativement à y ; si c'était le contraire qiti avait lieu, on aurait soin d'en avertir eipresaément.

On nomme fonction explicite celle qui provient de la résolution de l'équation par rapport à la variable dépen* dante, et fonction implicite celle qui est contenue dans une équation non encore résolue ^

La fonction implicite est de sa nature essentieHement transitoire et doit être considérée, dans nn calcul, comme

« crêtes; en aorte qu'il etX tiêé â« faire omnpitodre kl disthietkhn « précédente, en se bornant à citer les divers point* de vue aoecessUii sous « lesquels, à mesure que la science s'est formée, les géomètres ont consi- « déré les functfons analytiques les plus simples. J'indiquerai, par • enempte, les puissances, devenues en général fonctions abstraites dc^ls « seulement les travaux de Viète et de Deacartes. Ces fonctions s^^ «'^«. « qui, dans notre analyse actuelle, sont si bien conçues comme simple- « ment abstraites, n'étaient, pour les géomètres de l'antiquité, que des « fonctions entièrement concrètes, exprimant la relation de la superficie « d'un carré ou du volume d'on cube à la longueur de leur eôté^ »

(Auguste Comte, Coun de philosophie positive, 1. 1'% p. 123.) * Par exemple, dans l'équation de Tellipse

l'ordonnée y, considérée comme variable dépendante, est une fonction implicite de Fabsclsseï;. Si l'on résolvait par rapport à y, la noutelle équation

repréÉBBteriit tnM fonction êSûplMêe éê ».

devant élre ramenée tôt ou tard à la forme explicite. Cest ce qui résulte du choix même d'une variable indépendante : pour que la valeur corrélative de la variable dépendante soit obtenue, il faut que l'équation puisse étro résolue par rapport h cette dernière.

2. — Théoriquement toute équation peut être résolue ou du moins conçue comme résolue par rapport à l'une quel« conque des variables qui y figurent. Bien n'empêche , par conséquent , de prendre pour variable dépendante celle à laquelle il plaît de faire jouer ce rôle, et de considérer l'autre variable comme indépendante. Mais cette faculté, illimitée en théorie, est restreinte, dans la pratique, par la convenance de laisser aux quantités leur rôle naturel ; je veux dire par là qu'on doit leur attribuer dans le calcul une situation en harmonie avec leur signification concrète. Ainsi, quand je dis que l'espace parcouru par un corps tombant librement dans le vide est une fonction de la durée de la chute , je pourrais à coup sûr, au point de vue de la pure analyse, renverser les rôles et dire que la durée de la chute est une fonction de l'espace parcouru. Mais cette manière de présenter la loi du phénomène heurterait le jugement. La nature des choses nous indique que la variable véritablement indépendante, — car elle varie indépendamment de nous, de nos expériences et de nos mesures, — c'est le temps, et que l'espace parcouru augmente en conséquence des augmentations de la durée. De même je pourrais dire que le rayon d'un cercle est fonction de sa surface, puisque la surface étant assignée, le rayon s'ensuit nécessairement. Mais ici, à la vérité, si je ne heurte pas aussi directement les données physiques, je ne

laisse pas de contrarier les notions résultant d'une habitude jourifùlière ; car j'ai appris que la détermination du rayon, étant plus simple que celle de Taire du cercle, la précède ordinairement, ou en est indépendante, et que réciproquement, celle-ci doit être envisagée comme dépendant de celle-là.

G*est pour le même motif que dans les équations auxquelles on attribue une signification géométrique, ou qui représentent des courbes, on prend Tabscisse pour variable indépendante, de préférence à Tordonnée : parce que Taxe des abscisses figure une base horizontale et celui des ordonnées une base verticale. Or, nous savons par expérience qu'il est plus facile , et par conséquent plus naturel de compter d'abord horizontalement les distances, et de porter ensuite au-dessus la longueur qui doit marquer la hauteur du point. Si l'on voulait agir inversement, c'està-dire mesurer d'abord la hauteur, et mener ensuite, par l'extrémité de cette hauteur, une ligne horizontale, on éprouverait le plus souvent, dans l'ordre physique, de trèsgrandes difficultés.

Ces considérations, qui doivent toujours guider pour le choix de la variable indépendante , sont d'ailleurs , je le répète, sans aucune influence sur le calcul envisagé abstraitement. Il est loisible, pour la plus grande commodité des opérations analytiques, d'alterner les rôles, à volonté, entre les variables de la question.

3. — L'équation qui relie les variables contient d'autres quantités qui restent les mêmes, quelles que soient les valeurs attribuées aux variables. Ainsi, dans l'équation qui exprime Taire du cercle en fonction du rayon, figure le

10 PIUEMIËRE PARTIE.

nombre n {ZfiiA$92^ ), qui ne varie pas avec le rayon ;

dans réqoation qui exprime la hauteur parcourue en fonction de la durée de la chttt«, figure le nombre g (9^08.. . .), qui ne varie pas aux divers moments du phénomène.

11 est même Dacile de comprendre qu'aucune équation ne saurait subsister entre deux variables, sans la présence d*une ou plusieurs quantités constantes. Car à moin» de supposer une relation aussi simple que celle-ci : y zx^x, la fonction de a? qui représente (cxplicitenientou implicitement) la valeur de y, nécessite pour sa formalion le concours de certaines quantités numériques, qui affectent la variable x de diverses manières, soit comme multiplicateurs, soit comme exposants, soit comme bases de puissance.«, etc.

Les quantités constantes sont simplemenl appelées constantes ou paramètres ^ On les désigne par les premières lettres de Talphabet a,b^ c,..*, tandis que les variables sont désignées par les dernières jr, y, z, .... Ces paramètres représentent toujours des nombres, connus ou inconnus, mais absolument indépendants des valeurs quelconques attribuées aux variables.

U. — Une quantité peut être fonction de plusieurs variables indépendantes. Le volume d'un cylindre, par exemple, dépend à la fois de sa hauteur et du rayon de sa base. L'espace parcouru par un mobile, sous Tinfluence d'une force agissant en ligne droite, dépend non-seulement du temps écoulé, mais aussi de l'intensité de la force motrice. Si le mobile se mouvait dans un milieu résistant

' Ce terme est emprunté à la théorie des sections conique».

NOTION» FONDAMENTALES. 1i

comme l'eau ou Tair, cet espace dépendrait en outre de la résistance du milieu. Sans multiplier les exemples, on comprend qu'on puisse être conduit à considérer des fonctions d'un nombre quelconque de variables indépendantes. Ces variables sont susceptibles de recevoir chacune une infinité de valeurs arbitraires, ci la fonction, de son côté, prend des valeurs en conséquence. L'indétermination se trouve encore plus grande que dans les équations à deux variables, puisqu'on dispose à volonté des valeurs simultanées de plusieurs quantités.

On applique d'ailleurs aux fonctions de plusieurs variables les mêmes dénominations qu'aux fonctions d'une seule ; on y distingue des constantes et des variables, des fonctions explicites et des fonctions implicites, etc., etc.

$, — Nous avons supposé jusqu'à présent la dépendance immédiate, c'est-à^ire établie directement par une équation entre la variable dépendante et les variables indépendantes. Cette corrélation peut être médiate ou indirecte, c'est-à-dire réalisée par l'intermédiaire d'autres équations et d'autres variables, qui ne servent en quelque sorte que de traits d'union entre celles dont on s'occupe véritablcfloent* Ainsi, dans les exemples cités en commençant^ on pourrait dire que la surface du cercle est fonction du périmètre, lequel à son tour est fonction du rayon \ et que l'espace parcouru dans la chute d'un corps est fonction de la vitesse acquise, laquelle à son tour est fonction de la durée. Le périmètre et la vitesse seraient des variables accessoires, servant à établir l'enchaînement entre l'aire et le rayon, d'une part, entre l'espace et le temps écoulé, d'autre part. On serait d'ailleurs toujours maître de les

faire disparaître par des substitutions convenables, en remontant d'une équation à Tautre, jusqu'à ce qu'on ait mis en évidence la relation directe entre les variables indépendantes et la véritable variable dépendante. Mais bien qu'on puisse envisager ces dépendances médiates comme essentiellement provisoires et destinées à disparaître dans une élaboration définitive de la question, on n'en est pas moins conduit à leur^ faire une part dans le calcul, afin, précisément, d'éviter au moment même les substitutions plus ou moins compliquées que leur disparition immédiate rendrait nécessaires.

Une fonction dans le genre de celle qui exprimerait Tespace parcouru au moyen de la vitesse acquise se nomme fonction de fonction, pour indiquer que la quantité qui y joue en apparence le rôle de variable indépendante ( la vitesse acquise) est en réalité une fonction de la véritable variable indépendante de la question (la durée). S'il existe à la fois plusieurs variables accessoires, la fonction de ce* fonctions a la forme d'une fonction de plusieurs variables indépendantes.

6. -> La considération des fonctions est aussi ancienne que l'étude même des phénomènes, ou plutôt ne s'en distingue pas ; car qu'est-ce que la définition des fonctions, sinon la définition même des lois des phénomènes? Trouver la loi d'un phénomène, c'est établir entre ses divers éléments ou entre les diverses circonstances qui concourent à sa formation, une ou plusieurs équations qui permettent de déduire certains de ces éléments, quand les autres sont connus. La loi de la gravitation universelle, par exemple, consiste à exprimer, par une équation, la valeur de l'at-

traction en fonction des masses des corps en présence et de la distance qui les sépare. La loi du refroidissement d'un corps dans le vide consiste à exprimer la température on fonction du temps écoulé, etc., etc.

Disons plus : il n'est pas un problème, en apparence le plus étranger à la recherche drs lois, qui ne conduise à une fonction où Texpression d'une loi se trouve implicitement. C'est même là ce qui fait la généralité et par suite la supériorité de l'algèbre ; car le problème une fois résolu, la formule qui en fournit la solution fournit aussi celle de tous les autres problèmes de même nature, sans qu'il soit nécessaire de refaire les calculs pour chaque cas particulier. Ainsi, ayant trouvé que l'aire d'un cercle de rayon déterminé est égale à un nombre constant multiplié par le carré de ce rayon, je sais que cette formule conviendra à tous les cercles, et qu'il suffira pour chacun d'eux de remplacer la valeur primitive du rayon par celle qu'on assigne actuellement. En sorte que par une généralisation naturelle je suis conduit à enlever à l'équation son caractère étroit d'équation de solution, pour y voir désormais une fonction, c'est-à-dire l'expression de la loi des surfaces circulaires. De même , dans l'équation qui donne la longueur de l'espace parcouru, sous l'action d'une force constante , au bout d'un temps déterminé , je dois chercher autre chose que l'expression d'un fait particulier , propre à la durée assignée, et y voir la loi même du mouvement dà à cette force, loi qui consiste en ce que l'espace parcouru est proportionne] au carré du temps employé à le parcourir.

Rien donc de plus naturel, de plus primitifs si j'ose ainsi dire^que la considération des fonctions. Par suifr,

ih PRCMfÈRfi PARTIE.

rien qui soit en connexion- plus immédiate avec ia soliitioa des problèmes, but définitif de toutes les sciences, que la b^nche de calcul qui s'occupe spécialement de l'étude des fonctions mathématiques.