Nous'voîlà aniené à calcule»*, potir une fonction

•- quelconque, la limite vers laquelle tend le rapport dSéîf

accroissements de la fonction et de fa variable^, l6rs(|iië

ces accroissements ciKiv^rgei^t indéfinidou^t vers^^éro; pu,

* Nous employons le mot accroissement pom* désigner la différence desTûleurs successives' Île 'fa fonction,' qûok[u1l puisse ttè»ibî5n aMver que la seconde valeur soit ii^fi^jrifHr^ k \4 première,, ^i^ ^!(4a^D«)|i9ti -diminue tandis que la variable est supposée augmenter. 11 serait préféi- rable d6 déslgaei la dlfléreuoe; qat peut idnsi ^tre négatlvk, petr le fiéme générique de variation» Mais ce dernier mot ayant reçu une antre ftccep: lion (dans le calcul des variations), on conserve celui d'accroissement comme synonyme de diiTé^ence* Il faut sauleq^ient se ra^e^r que o$ti accroissement peut aussi bien être négatif que positif.

!! en d'autres termes, d'après, [es dcflnîilôns précédentes* (n* il), lorsque ces accroissements sont supposée infim^ ,

• * El tout d'abord, cette limite existe-t-elle? Est-oi) assUré,

"; il. priori, *(}tre1e rapport dont il s'agit converge ver$ tniQ

Tâletir finie^' cfAelte x^m soit I a fonction ?

. Jfl n'^t P^ difficile de \e vérifier sur divers eisemples/.

' "Alais cela ne suffit pas, puisque cette vërificatîoii ne peut

'! .^'nibrasscr toufes les fônctîons imaginables. Voici la dë-

: ^: tiumstration géntérftle\ donnée par M. Duhamel dans ses

, f * Soit, je suppose, la fonction ijarliùullère »' + j>ir -|- 9, dont je désigne

^, lu valeur par y.. Si j*atlrIVue h x une valeur dllVérenlc, a; 4-/1, 1à neu*

, velle valeur, y-î-k, do la fonclion sera exprimée par [x -\- h)^ -f p'jt-^ h)

.1; *^^.jiU^HIérw6e^tt|ïCHiC6ialeurs,ou(a;4-/i)'H-p(3F + /i)4-q — (a;'-hpa;^

^ ^),reprë«ttitera l^ccBoifioraneot fc. de la fonctioa , conu-^ijundanl à l*ac-

r i^ftSo^eaiflQt A de la variabto. La limite du rapport - sera égale à la H- *'^ tflFte vefé laquée t«nd la valeur de la fraction

' lorsque h converge vers zéro.

• u : ^ j sii ton ëflfedtue 1» .oalculs indicés, on trou^ve que cette (raption se ré- ^it à la quantité

2a;4-p4-^ laquelle a visiblement pour limite 2 a; + p, puisque h a pour limite zéro. ■ '" ' SWt m&Hie h fonction y^aainx. On a y -f fc = a sin (x + /i) et ' '' fc flsln (a;-f ^) — asinaf « sîn» (cos fc — i) -f a cosac sin/i

•J 1' »* .^^ I I I »■ r Mo lli r *! ■■ . ■! I >. z:;s I I ■ t ■ i^n ■ m i i ■■ ii ■ ■ ■ n I III I SSt *

— 2asinajsin*i A -f aco8a?8in/i . ^ , j.sin|^

= ? i= — 2 a sin 0? sin 4 fc ., * ,-

t L si" '^ ^ i^ L . j ^ sin î /i sin /» ^ , ^

' -f ^ »08ic "-r-* Or, hursque h tend vers zéro, — L- et — r— tendent res- • n h h

r ' peslivettientyief» |iet .1 , et Mu 4 /».tend vers zéro ; donc la limite du dernier "^ membre est a cos ^e.

Élemeitts de calcul infinitésimal (tom. 1", pag. 94) : (( Soit y une fonclion quelconque d'une variable x^ assu- (( jettie seulement aux conditions suivantes : 1° Que lors- <^ qu'on donne un accroissement k k XjW en résulte un (^ accroissement k de y, qui tende vers zéro si Ton fait « tendre k vers zéro; 2° qu'à partir de toute valeur de x « on en puisse prendre une autre qui en diffère d'une it quantité finie déterminée, telle que si x varie dans le (( même sens, dans l'intervalle compris entre elles, y varie « constamment dans un même sens, c'est-à-dire toujours « en augmentant ou toujours eu diminuant ^

ï( Cela posé, il est facile de démontrer que, dans ces (c conditions, pour toute valeur de x il existe une limite « finie pour le rapport des accroissements infiniment petits (( A et *; c'est-à-dire qu'il ne peut y avoir que des valeurs « exceptionnelles de x pour lesquelles ce rapport croisse « ou décroisse indéfiniment.

' La première de ces deux conditions est évidemment réalisée dans les fonctions dont nous sommes convenu de nous occuper. Si i*on se reporte à ce que nous avons dit au N* 7> on reconnaîtra sans peine que l'hypothèse de la continuité n'est autre chose que celle d'après laquelle l'accroissement de la fonction converge vers zéro en même temps que l'accroissement de la variable.

Quant à l'autre condition, elle ressort aussi, implicitement, de l'hypothèse de la continuité ; car si l'on admet que la fonction ne varie jamais par soubresauts, mais d'une manière graduelle, il est visible que ses variations sont réparties en périodes, tantôt de croissance continue, tantôt de décroissance continue ; et, quelque limitée que soit chacune de ces périodes, on pourra toujours prendre des valeui's de x assez rapprochées pour que les variations correspondantes de y soient comprises dans une même période de croissance ou de décroissance. Les valeurs de x ainsi choisies diffèrent d'ailleurs d'une quantité finie, puisque, en vertu de fa première condition, l'accroissement de la fonction serait infiniment petit si la diilérence des valeurs de la variable était infiniment petite.

CALCUL INFINITÉSIMAL. ki

« En effet, soient Xo^ X, deux valeurs de x satisfaisant (c aux conditions ci-dessus. indiquées; yo, Y, les valeurs « correspondantes de y; partageons l'intervalle X^Xo en n « parties égales, que nous désignerons par A, et soient n k^j k^^ k^j... kn f les valeurs correspondantes des ac* « croissements positifs de y; on aura :

X'-Xo=nh, Y — yo=*i + *t + *3 + ...H-*« ;

« d'où résulte :

<( c*est-à-dire que le rapport invariable des accroissements

« finis de x et de y, quand on passe de Xo à X, est la

« moyenne arithmétique des rapports V, x^ *•* x 9

« quel que soit le nombre entier n.

tf Si maintenant on fait croître n indéfiniment, les

u termes de ces rapports tendront vers zéro, et leur

K< moyenne arithmétique étant toujours égale à la quantité

« finie Y^~~~^ ' '' ^^^ impossible qulls tendent tous vers

u zéro, ou qu'ils croissent tous indéfiniment.

« Cette conclusion, relative à Tintervalle X — a?o, pou-

« vaut être appliquée à toute partie de cet intervalle, il

« s'ensuit qu'il est impossible que, dans aucun intervalle

k « fini, la valeur de -j tende vers zéro ou croisse indéfi-

a niment pour toutes les valeurs de x. Ce n'est donc que « pour des valeurs exceptionnelles et en nombre limité

« que -r peut ne pas avoir une valeur finie ; ce que nous

« voulions établir.

« Nous avons supposé dans ce raisonnement que «= — ^

i( avait une valeur finie. En ne s^assujettissant pas à cette

<( condition, voyons s'il est possible que toutes les valeurs

k (c de -T tendent vers zéro ou croissent indéfiniment.

i< SI tous les rapports tendent vers zéro, leur moyenne

i< y tendra nécessairement, et comme elle est constante,

« elle ne peut être que zéro ; donc Y — y a = o , ou Y = yo.

« Et comme il en sera de même si Ton considère Tinter-

« valle entre Xo et toute autre valeur cîioisie entre Xo et X,

(i il en résulte que toutes les valeurs de y correspondant

(( au\ valeurs de x comprises entre Xo et X sont égales

« a yo. La fonction désignée par y ne serait donc autre

« chose qu'une constante, et Ton volt alors que non-seu-

k (c iement -r tendra vers zéro, mais qu'il sera toujours

« rigoureusement nul

k i( Si maintenant tous les rapports -r-croissaient sans

« limites, les rapports réciproques^ tendraient tous vers « zéro ; auquel cas tous

« les rapports-T seraient rigoureusement nuls , et l'on

<( dirait que les rapports ^-sont tous infinis. »

La démonstration qui précède prouve Vexistence de la limite du rapport, mais elle ne prouve pas qu'on sache la calculer effectivement , ni même qu'elle soit sus-

ceptible d'être exprimée analytiquement. En d'autres termes, nous ne pouvons pas encore affirmer que celte limite est représentée par une fonction analytique; ce dernier point résultera d'un autre ordre de considérations. Toutefois nous supposerons, dès maintenant, qu'il en est ainsi.