DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES

18. — La valeur {finies comme ou vient de le voir), vers laquelle converge le rapport des accroissements des variables y et x^ est nécessairement une fonction de x; car cette valeur doit changer avec les valeurs de j? et de y à partir desquelles sont pris les accroissements, et elle ne peut changer que d'après ces variables. Nous supposerons en outre, comme nous l'avons déjà dit, que c'est une fonction analytique. On lui a donné le nom de fonction dérivée, ou simplement de dérivée, parce qu'elle dérive suivant certaines lois - que le calcul différentiel a précisément pour objet d'établir — de la fonction donnée, laquelle est, par opposition, nommée fonction primitive.

On représente, dans les formules, la fonction dérivée

par la même nolation que la fonction primitive, affectée d'un accent. Ainsi y' ou f (a?) désignent la dérivée de y ou de f{ai). Les accroissements des variables sont désignés par la caractéristique A placée devant la variable :

Aar et A^ sont les accroissements de x et de y. La limite vers laquelle tend une quantité se représente par l'abréviation lim écrite devant la quantité : lim -r-^ désigne la

limite du rapport des accroissements de y et de or, lorsque ces accroissements convergent vers zéro; et l'on a par définition

lira ^ = y' ou f'(x).

19. — Puisque la limite du rapport des accroissements de la fonction et de la variable est exprimée par une certaine fonction que nous avons appelée dérivée , ce rapport , quand les accroissements ont des valeurs finies, diffère de la dérivée, et en diffère d'autant plus que les accroissements ont des valeurs plus éloignées de zéro. On peut donc poser :

a étant une quantité variable qui diminue avec Aar, et qui a pour limite zéro.

On déduit de là :

Ay= f (x) Aa? 4- a Aa? ;

ce qui nous montre que l'accroissement d'une fonction, correspondant à un accroissement fini de la variable, est

U6 SEœNDE PARTIE.

composé de deux parties : Tune, qui est le produit de la dérivée par raccroissement de la variable; l'autre, qui est le produit de ce même accroissement par une quantité qui tend vers zéro en même temps que lui.

La première partie, qui forme là portion principale de la différence Ay, a reçu le nom de différentielle j mot qu'on peut considérer comme provenant de la contraction de ceux-ci : différence partielle j et qui en rappelle suffisamment Forigine. Cette différentielle est indiquée dans les formules par la caractéristique d placée devant la quantité ; ainsi dy représenle la différentielle de y ou f'{x) Aar. On a :

dy = r{x)lœ , ou /'(x) = g; et Ay=rfy + «Aa: . ou -^ = 1 + ^-^.

La variable indépendante or n*a pas de différentielle ou plutôt sa différentielle n*est pas distincte de son propre accroissement *. Rien n'empêche, pour la symétrie des écri-

' L'idenUté de la différentielle et de raccroissement, en ce qui concerne

la variable indépendante, n'a rien de contraire à la définition générale de

la différentielle. Si Ton considère x comme une fonction — la plus simple,

à la vérité, qui se puisse concevoir — de la variable x, la dérivée de cette

fonction, ou la limite du rapport des accroissements delà fonction et de la

variable, sera évidemment égale à 1 , car elle est exprimée, d'une manière

fit 4- A*) — X \x

générale par lim ou par 11m — ; et la différentielle, qui

^X Ax

est le produit de la dérivée par raccroissement do la variable, se tiouv<> représentée simplement par l'accroissement lui-même.

Cures, de remplacer Ar par dx, dans toutes les formules où figure dy. Les relations ci-dessus deviennent :

dy = r{x)dx, ou fW=^; Ay^dy^ccdx, ou ^==1 + ^.

La relation dy = f'(jv) dx nous montre qu'il revient au même de chercher la différentielle ou la dérivée d'une fonction ; c'est ce qui a fait donner le nom de différentiation à l'opération qui a pour objet la recherche des limites de rapport , et le nom de calcul différentiel à la science qui traite des fonctions dérivées (n** 15).

Pour le même motif, on appelle quelquefois la fonction dérivée, quotient différentiel , parce qu'elle est égale au quotient des deux différentielles.

Les relations précédentes montrent que le rapport de l'accroissement de la fonction à sa différentielle converge vers l'unité, en même temps que llaccroissement de la va-

riable tend vers zéro : car le terme additionnel- ..,. . diminue en même temps que dûP.

On peut dire aussi que la différence entre l'accroissement de la fonction et la différentielle est infniiment petite par rapporta ces quantités, supposées elles-mêmes infiniment petites; car cette différence a pour expression adxj et le

rapport de ce produit à ay, ou ,.,. . est une quantité infi-

niment petite, puisque a tend vers zéro en même temps que dx.

Il est à remarquer que la dôliniiiou de la différentielle

l\$ SECONDE PARTIE.

de ia fonction nlmplique aucune hypothèse pniticulière sur l*ordre de grandeur de cette quantité , qui peut aussi bien être supposée finie ou infiniment petite. Quelle que soit la grandeur attribuée dans les formules à Ax ou c/or , la relation dy = f{x) dx subsiste toujours , puisque cVst une relation de définition.