FONDAMENTAL

26. — La différcnliation dos fonctions composées (forméos, comme nous l'avons déjà dit, par des combinaisons de fonctions simples) se ramène à celle des fonctions simp'es an moyen du théorème général suivant :

Si y est une fonction médiate de ^, c'est-à-dire si l'on a

M, /*, /r..., étant respectivemenl des fonctions de a', la différeniielle de y par rapport à jr s'obtient en prenant la diffcrenlielle de /(m, r, /(?...), successivement par rappoit à î/, r, w..., considérées tour à tour comme des variables indépendantes, et en ajoutant les résultats ainsi obtenus. En d'autres termes, je dis qu'on aura :

CALCUL INFIINITÉSLMAL. 69

^y = -r- du-\—:r'dv + —• div

du dv dw

la quantilé -f- représente la dérivée piise par rapport à m,

comme si n était la variable indépendante, et comme si

r, ir...j étaient des constantes ; de mémo -4- représente la

dérivée par rapport à v, comme si m, ir... , étaient des constantes ; et ainsi de suite. Quant aux différentielles duy dv^ dw,..y qui multiplient ces dérivées, elles résultent de la variation de x dans les diverses fonctions qui représentent respectivement les quantités i/, r, m?...

D'après ce théorème, la différentielle de la fonction y sera obtenue sous cette double condition :

1® Qu'on sache différentier y par rapport à chacune des

2" Qu'on sache différentier m, t?, ti?...,par rapport à x.

Afin de simplifier le raisonnement, prenons le cas de deux variables seulement, u et v. Soit donc y = f{uyv).

Je suppose que x reçoive un accroissement Ax. Les quantités y, u et Vy qui en sont fonction, recevront des accroissements correspondants que je désigne respectivement par Ay, At/, Av ; et l'on aura :

Ay = f{u -h Aw, t; 4- Av) — f{u, v).

Le résultat serait le même si, au lieu de faire varier x si^ multanement dans les fonctions t« et Vy on la faisait varier êiiccessivement dans chacune d'elles. En opérant la variation d'abord dans m, par exemple, la fonction y devient f{u -h Aw, r), et il se piodnit un premier accroissement

égal ix f{u+ Au, v) — f(u, v). Si Ton fait ensuite varier X dans v, la fonction y , qui était, comme nous avons vu, f{u-^Au, v)j devient maintenant /"(wH- Ai/, v H- Ar), et il en résulte un deuxième accroissement représenté par f{u-\-Au, V -\- Av) — /*(?/ 4- Au , v). L'accroissement total de y, qui est la somme de ces deux accroissements successifs, a pour valeur :

/*(«-+- Aî/, r) — /* (w, v) -\- fiu-j- Am, v '\- Av) — f (u 4- Av, v).

Remarquons en passant que cette expression se réduit à celle que nous avions immédiatement obtenue en faisant varierai à la fois dans t^et dansr. Mais la forme différente à laquelle nous conduit la variation successive va nous permettre de faire ressortir le théorème que nous avons énoncé.

Le rapport — peut s'écrire ainsi :

Ay f{u + Au,v)^f{u,v) Au Ax Au Ax

f{u-\- Am, r-H At?) — /"(iz-f- A!i, v) At^

Av Ax

Si Ton fait décroître Aa? indéfiniment, les rapports -r^ , -r— et -r— convergeront respectivement vers les dérivées de y, u et Vy prises par rapport a Xj c est-a-dire vers H^, -r- et g. Quant à la fraction Û!£±.A«,^I=i>i£), i, «si vi-

sible qu'elle aura pour limite la dérivée de la fonction f[u^ t?), prise par rapport à t^, comme siw était la variable indépendante et v une constante. Cela résulte de ce que àai converge vers zéro en même temps que Aa?. La limite

de cette expression pewt donc se désigner par -J-. L'autre

fraction '— — jç '—^ ~ converge,

de son côté, vers la valeur de la dérivée de f{u^ i?), prise par rapport à v ; car si Ton considère u comme constante, la limite de celle fraction est évidemment la dérivée de f{u-h A//, /'), fonction qui n'est autre que /*(//, r) quand A;r et par suite Au est ramené à zéro. On peut donc la

représenter par -j-. Dès lors, Téquation précédente conduit à celle-ci :

dy df du df dv dx du dx dv dx

En multipliant tous les termes par dxy et remarquant que

les produits des dérivées -~, -r-, -i- , par raccroissement

dXf sont égauK aux différentielles de y^ de u et de Vj on obtient la relation annoncée :

dv=^du'h^dvi') , "y du ^ dv '

* Il faut bien remarquer que, dans le second membre, la quantité du,

qui figme en multiplicateur et en dénominateur, n*a pas la même signifl-

df cation dans les deux cas, et que, par suite, le terme j- du ne peut pas

72 SECOISDE PARTIE.

qu'on peut écrire également ainsi :

en ayant soin de distinguer la différence de signification dedy dans les deux membres. Dans le premier, dy représente la différentielle de y provenant de la variation de x à la fois dans u et dans v ; dans le second membre, dy représente la différentielle de y provenant de la variation de X dans une seule des fonctions u ou r.

27. — On aperçoit sans peine que ce théorème fournit les moyens de ramener la différentiation d'une fonction quelconque à celle des fonctions simples \ car quelle que soit la nature d'une fonction, c'est-à'-dire de quelque manière qu'elle soit formée avec la variable, cène peut jamais être que par un ensemble d'opérations ayant toutes le caractère de celles qui donnent lieu aux fonctions simples. Ces opérations peuvent être isolées les unes des autres ou superposées les unes aux autres *, et produire des termes

tif

se remplacer simplement par d[. En elïet --p signifie que la dérivée est

prise par rapport à u, comme si u ^tait une variable indépendante; et le

multiplicateur du représente la différentielle de m, telle qu'elle résulte de

la variation de x dans la fonction désignée par it. — La même remarque

df s'applique au terme -- d i; .

dv

^ J'appelle isolées des opérations qui peuvent s'effectuer indépendam^ ment les unes des autres, et superposées celles qui se commandent entre elles, de telle sorte qu'on ne peut les effectuer que Vune après Vautre, Ainsi x">\og x indique des opérations isolées , parce que , si on connaissait la valeur de x , les quantité? ar"» et log x pourraient se calculer

plus OU moins compliqués ; mais on retrouve toujoui-s les mêmes éléments constitutifs. Si donc on représente par autant dé variables, fonctions de or, les diverses fonctions simples qui correspondent aux opérations indiquées dans la fonction donnée, on aura une fonction composée d*un certain nombre de variables, fonctions de or ; et la différentialion en sera ramenée, d'après le théorème précédent, à celle de chacune de ces fonctions, c'est-à-dire à la différentiation des fonctions simples elles-mêmes.

Quelques exemples éclairciront notre pensée.

Soit en premier lieu une fonction à opérations isolées, dont un terme quelconque sera, par exemple :

ax*\ogx

Posons :

ax^ ==u , log a? = t' , bv= z ;

le terme en question deviendra :

uv

La différentielle s'obtiendra : l"* en différentiant le terme successivement par rapport à t«, 2? et r, considérées tour à tour comme variables indépendantes ; 2^ en multipliant les dérivées ainsi obtenues par les différentielles Atu ^ v et r, prises par rapport à x.

séparément. Au contraire iVl + ac" représente des opérations superposées, parce qu'on ne peut calculer la racine n**»»« qu'après avoir calculé «"' .

Or, d'une part, les variables u^ v et z n'entrant dans le ternie ci-dessus que par des opérations simples, on saura sans difficulté obtenir les dérivées par rapport a ces variables ; d'autre part, chacune de ces variables ne représentant qu'une fonction simple de or, on saura également en prendre la différentielle par rapport à x .

On obtiendra donc la différentielle cherchée.

Considérons en second lieu une fonction à opérations superposées, dont un terme sera par exemple :

sin X . (a log x) ^

Posons :

smx = u , aïogx = v , v^=:z ;

ce terme pourra s'écrire :

uz .

Les opérations relatives à n ne présenteront aucune difficulté nouvelle, puisqu'on se trouve dans le même cas que précédemment. En ce qui concerne z, on aura : l'^à prendre la dérivée par rapport à cette variable, considérée comme indépendante^ ce qui est encore l'applicatioti du cas précédent ; 2"* à prendre la différentielle de t. Ici, la chose est nouvelle, car z n'est pas une fonction immédiate de u, puisque z s= t?*», v étant elle-même fbnction de x. Mais raisonnant par rapport à z, comme pouc les fonctions à opérations isolées , on déduit dz = mv^—^dvj et lout consiste à trouver dv , ce qui est aisé , puisque v est une fonction immédiate de x .

Théoriquement donc, on n'aura aucune difficulté à opérer

la différentiation d'une fonction quelconque d'une seule variable indépendante.

Ainsi se trouve confirmée, à posteriori^ la proposition que nous avons établie touchant Texistence d'une dérivée pour toute fonction continue. Nous voyons de plus quenon-» seulement cette dérivée existe, mais encore qu'on saitTobtenir sous une forme analytique. C'est là un pas nouveau, bien important ; car il ne suffisait pas d'être assuré que le rapport de l'accroissement d'une fonction à l'accroissement de la variable converge vers une limite finie : il fallait démontrer aussi que cette limite est toujours exprimable au moyen des algorithmes connus, ce que rien, à priori^ ne permettait de supposer *.

^ On donne assez souvent une démonstration fort incomplète, et même vicieuse, de l'existence de la dérivée. On construit la courbe représentée par l'équation y = / (x) , et après avoir remarqué que la dérivée exprime la valeur de la tangente trigonométrique de l'angle formé par la tangente à la courbe avec l'axe des x, on en conclut que, toute courbe ayant une tangente en un point quelconque, toute fonction a une dérivée pour une valeur quelconque de la variable. Cette démonstration présente les défauts suivants :

1° On a recours à une représentation géométrique, ce qui est propre à restreindre le point de vue général auquel il faut considérer les fonctions ;

2* On affirme que' toute courbe a Une tangente, ce qui n'est pas plus évident que la conclusion même qu'on en veut tirer : savoir que toute équation a une dérivée ; car si la courbe a une tangente, c'est précisément parce que son équation porte sur une fonction continue. C'est donc dans la continuité qu'il faut chercher la raison d'être de la tangente, et dès lors mieux vaut donner tout de suite la démonstration purement analytique que nous avons présentée d'après M. Duhamel.

3" De ce que la dérivée a une valeur déterminée, il ne s'ensuit pas qu'elle existe analytiquement, c'est-à-dtre qu'elle soit susceptible d'être exprimée avec les algorithmes connus. Cela ne peut résulter que des considérations à posteriori que nous avons fait ressortir.

Con séq u en ceë,

28. — 1" La dilï'érenlielle d'une somme de fonctions est égale à la somme d<s diffërenliellcs de ces fonctions.

C'est une application évidiMite du théorème général.

2" \a\ diiTéremielle d'un produit de plusieurs fonctions est égale à la somme des produits obtenus en multipliant la différentielle de chaque fonction par le produit de toutes les autres. Ainsi on doit avoir:

(/ (fit; 2 ...):= t'Z .... rfti + M2. ... (/v -+- we? .... rfa:-!-. .. .

En effet, pour obtenir la différentielle du produit t/rz...,il faut différentier ce produit successivement par rapport à i/, î?, 2'..., comme si chacune de ces quantités était seule variable et toutes les autres constantes. La différentiation par rapport à m, par exemple, donne pour résultat vz.,, (quantité considérée comme constante), multipliée par la différentielle de </, c'est-à-dire vz... du. De même pour chacune des autres fonctions.

3*" La différentielle d'un quotient s'obtient en formant le produit du dénominateur par la différentielle du numérateur, en en retranchant le produit du numérateur par la différentielle du dénominateur, et divisant par le carré du dénominateur. Ainsi :

vdu — udv

Car la différentielle de la fonction — , prise par rapport

CÀr.CUL TNTIMTftSIMAl.. 77

à î/, comme si r était constant, donne — du. Lu

JifTérentielle par rapport à v, comme si u était constant,

donne , dr, La somme de ces denx quantités, ou

la différcntieile du quotient — par rapport à la variable indépendante, a pour expression :

1 , u , vdu — udv -du 5 dv ou i

U" La dérivée d'une l'onction de fonction est égale au produit des dérivées de ces fonctions. Soit, par exemple, y = f{u),u = (^ (x) ; je dis qu'on aura :

dy df d^ dy dy du ^

dx du dx ' dv du dx '

Relation dans laquelle -M représente la dérivée de y par rapport à ar, -^ la dérivée de y , prise par rapport a u