CF
comme si u était la variable indépendante, et -j- la dérivée de u par rapport à x.
En effet, d'une manière générale, nous avons :
du -= -/- du j on dy = -~ du ; •^ du ^ du
K\ du représente la difféi*enlielle de i/, telle qu'elle résulte de la variation de x dans la fonction qu elle représente :
donc du ^^j-dx. Par suite,
78 SECONDE PARTIK.
, dy du ^
d'où enfin la proposition énoncée.
On peut écrire également :
dy
du dx
du du '
dx
ce qui signifie que la dérivée de y^ prise par rapport à u, comme si u était la variable indépendante, est égale au quotient des dérivées de y et de u, prises par rapport à la véritable variable indépendante x.
29, — Ces diverses règles * permettent de trouver les dérivées d'une façon plus expédilive qu'en mettant en évidence toutes les variables auxiliaires auxquelles nous avons eu recours xians les exemples du n° 27.
Si la fonction donnée comprendre suppose, une somme de termes, — ce qui est assez général, — il est inutile de remplacer chacun d'eux par une variable spéciale pour effectuer la différentiatiôn : il suffit de les différentier séparément, et de faire la somme des résultats ainsi obtenus. Si l'on est ensuite en présence d'un terme tel que celui du n** 27, soit :
^ On est dans l'usage de donner des démonstrations directes pour les divers cas particuliers que nous venons de passer en revue, sans les rattacher au théorème général des fonctions composées, dont ils ne sont pourtant que des conséquences immédiates. Cette manière de procéder nous semble peu philosophique .
(,ALCUL INFINITÉSIMAL. 79
ax^ ÏOgx
on sait que la différentielle est égale, d'après la troisième conséquence, à
b^d(ax^\ogx) — ax*\ogx d{b^)
On développe les différentielles indiquées, au moyen de la deuxième conséquence. Ainsi :
d{ax^ loga?) :=\ogx d (ax*) -t ax^ d l}ogx) =
= (3 00?* loga? 4- aa;* log e) (te .
Nous ne pousserons pas plus loin le calcul, qui n'offre aucune difficulté. Cet exemple suffit à montrer qu'avec une certaine habitude des procédés, on parvient à effectuer rapidement les différentiations de fonctions compliquées, sans même avoir besoin de recourir à des variables auxiliaires.
