RXISTENGE DE LÀ LIMITE DE SOMME POUR TOUTES LES FONCTIONS CONTINUES

36. — Les termes des sommes dont le calcul intégral recherche les limites sont toujours supposés ramenés à la forme f{x) ^x.

En général , la mise en équations des problèmes ne fournit pas immédiatement des termes d*une forme aussi simple. Il faut une élaboration préliminaire pour les y

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réduire , élaboration distincte du calcul intégral proprement dit, et qui rentre véritablepfient dans l'usage de la méthode infinitésimale, ainsi que nous le verrons plus tard*.

Quoi qu'il en soit de la transformation préalable dont nous parlons, et des difficultés spéciales dont elle peut être entourée dans les diverses applications, nous admettrons toujours qu'elle a été régulièrement effectuée. Les procédés du calcul intégral auront donc pour objet de faire connaître la valeur de la limite vers laquelle tend une suite de termes tels que :

en désignant par^r , or^ , 0^3 , . . . ^rn , les diverses valeurs attribuées à or, et par Aor , Aor, , A^Tg , . . . àxn les valeurs correspondantes des accroissements de x. Une telle somme est prise depuis une valeur déterminée que nous avons désignée ici par jf , jusqu'à une autre valeur désignée par Xf^ . Le nombre des termes intermédiaires est d'autant plus grand que les accroissements Aj? , Ax^ , Ax^ , . . . sont plus petits. En même temps la valeur individuelle de ces termes devient moindre, et la limite qu'il s'agit de calculer est celle vers laquelle tend la somme lorsque les* accroissements de la variable convergent indéfiniment vers zéro.

ir>*

C'est le même poipt de vue que pour le calcul 'diffiéraitiel. N<ms y

A/M euper de la manière de les ramener à eette fbrme.

avons supposé les rapports ramenés à la fonne -^^, sans nous préoe-

On représente ordinairement la somme ci-dessus par 2, f{x) Aar , et la limite de cette somme par lim. 1 f(x) A4' .

S7. — - Ici se présente, comme pour le calcul différentiel, une question préliminaire tout à fait capitale : la limite dont nous parlons existe- t-elle? La somme des termes /(a?) Aa?-4-/*(a?2)larj-h . . . converge -t- elle toujours vers une valeur déterminée?

C'est ce que nous allons démontrer pour toute fonction d'une variable x assujettie seulement aux conditions suivantes : <( 1° que lorsqu'on donne un accroissement hhaf, « il en résulte un accroissement k de y qui tende vers « zér^ si Ton fait tendre h vers zéro ; ^^ qu'à partir de toute a valeur de âr on en puisse prendre une autre qui en diffère « d'iine quantité finie déterminée, telle que si 47 varie dans « le même sens, dans Tintervalle coioopris entre elles, y « varie constamment dans un même sens, c'est-à-dire (oua jours en augmentant ou toujours en diminuant ^ »

De la première de ces deux conditions résulte que la fonction ne passe pas par une valeur infinie quand or varie jusqu'à aPj^ . Si donc on désigne par A la plus grande valeur que puisse prendre la fonction entre les valeurs x et x^ de la variable, A sera nécessairement une quantité finie , et la somme 2 f{x) kx sera moindre que A Aa? + A Aar, +

+ AAa?3-|- AAa?„; ou moindre que A ( a?,, — ar ) ,

quantité finie, indépendante de la grandeur individuelle des accroissements. Ainsi , nous voyons en premier lieu

' Ces conditloi^ soQt la reproduction de celles qui conviennent aux limites de rapport (N" 17). Elles sont toujours la conséquence directe de la continuité de la fonction.

que la somme en question ne peut croître aunlelà de toute expression.

D'un autre cùté, considérons une portion de cette somme correspondant à une série de valeurs de x pour lesquelles, en vertu de la seconde condition, la fonction reste de même signe dans rintervalle, par exemple censtamment positive. Soit a la plus petite des valeurs positives de la fonction. Si x varie de la quantité finie A, la portion de somme dont il s'agit sera plus grande que ah\ et comme elle n*est pas infinie, elle converge vers une certaine valeur positive. Pour une autre portion de la somme, correspondant à des valeurs de x qui rendent la fonction constamment négative , la valeur convergera vers une certaine quantité négative ; et ainsi de suite. En sorte que la limite vers laquelle convergera la somme totale sera égale à la somme algébrique d'un certain nombre de quantités positives et négatives; ce qui représente bien une limite finie : car cette somme algébrique ne pourrait évidemment être nulle que dans un cas très-particulier.

La somme ^f{pc) ^x ayant toujours une limite finie, on

représente cette limite par le signe particulier / , en haut

et en bas duquel on indique les valeurs extrêmes attribuées à la variable. Ainsi la limite de 2 /'(a?) Aor, la somme étant prise depuis x jusqu'à x^ , est représentée par

Celte somme limite s'appelle intégrale (du niot latin intégra)^ parce^u'on la considère comme X entier ^w\\. f{x) Hx est une partie infiniment petite. Nous devons faire, au sujet

CALCUL iNFlNITÊSlMAL. 105

de cette démonstration, une remarque semblable à celle du n""!?. Ce qui précède prouve bien que la somme ^f{x) Ajf a une limite finie, mais ne prouve nullement que cette limite soit exprimable analyiiqtiement, et, à plus forte raison, qu'on sache la trouver. Pour valider une pareille conclusion, il faudrait préalablement montrer, comme pour la différcntiation; qu'en soumettant à des procédés de calcul réguliers les termes f{x) Ajt, on en déduit toujours une expression analytique qui satisfait à la condition d'être la limite vers laquelle converge la somme de ces termes. Or, malheureusement, comme nous le verrons plus tard, on est loin d'un semblable résultat.