Deux quantités fixes, entre lesquelles on suppose
qu'il n'existe qu'une différence infiniment petite, n'ont
: réellement pas de différence, et sont rigoureusement
égales.
Puisque ces quantités sont fixes, leur différence ne peut i être elle-même qu'une quantité fia^e et déterminée^ et
I ne saurait être égale à une quantité infiniment petite ,
j qui, de sa nature, est éminemment variable. II faut en con-
; dure que l'inégalité supposée n'est qu'apparente, et que
l'infiniment petit, qui est censé la représenter, figure abu-
sivement dans la formule , où il â*est introduit par suite de quelque erreur de calcul passée inaperçue. Si donc on est bien assuré que la différence entre les quantités fixes ne peut être autre chose que cet infiniment petit, on est assuré, du même coup, que cette différence n'existe pas. Par conséquent , on a non-seulement le droit , mais encore le devoir de supprimer Tinfiniment petit dans les relations, afin d*y rétablir la réalité des choses.
On se fait souvent de ce théorème une idée très-fausse qui lient à Ténoncé sous lequel on le présente. On dit simplement que deux quantités dont la difféi'ence est infiniment petite sont égales ; et le souvenir qu'on garde de cette proposiiion, c'est que la différence est comme négligeable par rapport aux quantités elles-mêmes. On y voit une sorte d'approximation , suffisante et au delà pour nos besoins, plutôt qu'wn^ vérité absolue. C'est pourtant à ce dernier point de vue" qu'on doit l'envisager, puisque la différence supposée n'est ni extrêmement petite ni infiniment petite^ mais bien rigoureusement nulle^ ou pour mieux dire n'existe que dans de fausses apparences.
Deuxième proposilloii.
55. — Deux quantités finies variables, qui ne diffèrent que d'une quantité infiniment petite, convergent vers la même limite.
Car les deux variables peuvent être rapprochées de leurs limites au point de n'en différer respectivement que d'une quantité infiniment petite \ et , comme la différence des deux variables, amenées à ce point-là, est supposée tou-
jours inflniment petite, la différence des deux limites, ^ qui ne pourrait surpasser la différence des variables, augmentée des différences de ces variables avec leurs limites, — serait elle-même infiniment petite. Or, les limites étant des quantités fixes, et leur différence étant infiniment petite, elles sont rigoureusement égales, en vertu de la proposition précédente.
On peut dire aussi que le rapport des deux variables entre elles tend vers l'unité à mesure que ces variables convergent vers leurs limites.
Cof\8€quences,
Si deux infiniment petits du premier ordre ne diffèrent que d'un infiniment petit d'ordre supérieur, leurs rapports avec rinfiniment petit principal convergent vers la même limite.
En effet, d'après la définition même des infiniment petits de divers ordres, les rapports dont il s'agit représentent des quantités variables tendant vers des limites finies ; et , d'autre part, le rapport de l'infiniment petit d'ordre supérieur, qui représente leur différence, à l'infiniment petit principal, est lui-même infiniment petit. Nous rentrons ainsi dans le cas de la proposition précédente, de deux variables finies qui ont une différence infiniment petite.
Ce que nous disons là des rapports avec l'infiniment petit principal s'applique aussi bien aux rapports avec un infiniment petit quelconque du même ordre ; car ces derniers rapports convergent également vers des limites
finies.
La même conséquence peut s'étendre à deux infiniment petits d'ordre quelconque, qui ne différeraient que d'un infiniment petit d'ordre supérieur, et dont on prendrait le rapport avec un troisième infiniment petit du même ordre.
On peut énoncer ces conséquences autrement, en disant que le rapport de deux infiniment petits, dont la différence est d'un ordre supérieur, a pour limite l'unité.
De ce qui précède résulte encore ceci :
Toutes les fois qu'on se propose de passer aux limites de deux variables finies, ou aux limites des rapports d*infiniment petits d'un même ordre, on a toujoui^ le droit de supprimer l'infiniment petit d'ordre supérieur qui représente la difi'érence, parce que son influence disparait nécessairement quand on passe aux limites des variables ou des rapports. En un mot, bien que les variables ou les rapports aient entre eux des différences certaines, on peut toujours agir comme si l'égalité parfaite avait lieu ; à la condition, je le répète, qu'on se propose de passer aux limites de ces quantités.
Troisième proposition.
56. — Si l'on a deux sommes d'infiniment petits d'un certain ordre, convergeant chacune vers une limite finie, et telles que les infiniment petits de l'une ne diffèrent respectivement des infiniment petits de l'autre que de quantités infiniment petites d'ordre supérieur, les limites de ces deux sommes sont nécessairement égales.
Puisque les infiniment petits des deux sommes ne diffè-
renty chacun de chacun, que d'un infiniment petit supérieur, leur rapport tend vers Tunité. Or, on sait, d'une manière générale, que si Ton prend une suite de rapports dont les numérateurs et les dénominateurs soient tous positifs, la somme des numérateurs, divisée par la somme des dénominateurs, fournit une fraction dont la valeur tombe entre le plus petit et le plus grand des rapports donnés*. Dans le cas qui nous occupe, chacun des rap-
* Il est très-facile de s'en rendre compte. Soit les fractions -, -, ^ ,...
—, que je suppose rangées par ordre de grandeur : r < r < 7 < — •
Je prends d'abord les deux premières, et je dis que sera plus grand
que - et moindre que - . En effet, soit un autre rapport - égal à - ; ilest
évident que sera égal à -. Puisque - surpasse - , et par suite
- , il faut que c soit plus giand que c'. Donc ■ ' ■■ est plus grand que
, , et par conséquent plus grand que -. On verrait de la même ma
nière qu'en ajoutant - à - on forme un rapport moindre que -r . La
proposition étant ainsi établie pour deux fractions, on l'étend sans peine
à une troisième - .Car soit— un autre rapport égal à r—-^ • H est clair Il o-\-a
^"® T, , ^ , /. ' sera encore égal à 5— —7 . Mais puisque -z est , par liypo-
