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thèse plus grand que - , qui est plus grand que ~— r , il s'ensuit que -

Ci ~\~ ce' CL I C "4^ €

est plus grand que --— ou que - . Donc e surpasse e'et dès lors -— ; — --— ^i

a-\~ c-\-e' a ■}- c ^ surpasse ou . A plus forte raison ce rapport surpasse-t-il

l T* On verrait de même qu'il est moindre que - ; et ainsi de suite pour

un nombre quelconque de fractions*

MÊTHODS INFINITÉSIMALE. 159

ports converge vers l'unité : le rapport des sommes doit y converger aussi. Ces sommes ont donc la même limite.

Conêéquence.

Dans les calculs où se présenteraient effectivement des sommes telles que nous venons de les supposer, on pourrait supprimer immédiatement les infiniment petits de Tordre supérieur, — à la condition, bien entendu, qu'on se propose de passer aux limites de ces sommes; — car Terreur qu'on introduit dans les équations en faisant disparaître un de leurs éléments, cesse d'avoir aucune influence quand on passe aux limites elles-mêmes.

Qaatrtème propoftltioa;

57. — Dans toutes les questions où Ton cherche la limite d'un rapport ou la limite d'une somme d'infiniment petits, on peut, sans altérer la valeur des limites, remplacer chaque infiniment petit par un autre qui n'en diflëre que par un infiniment petit d'ordre supérieur, ou dont le rapport avec le précédent converge vers l'unité.

Cet important théorème, qu'on peut nommer Principe de substitution des quantités infinitésimales , est une conséquence directe des deux propositions que nous venons d'établir. Nous savons en effet que des infiniment petits qui diffèrent seulement par un infiniment petit d'ordre supérieur , donnent lieu à des rapports ou à des sommes qui convergent vers les mêmes limites. En faisant

la substitution dont il s^agit, on ne change pas la valeur des limites cherchées.

Conêéqueneeê-

Toutes les fois que, dans une équation, figure un rapport ou une somme d'infiniment petits, et qu*on se propose d'en prendre la limite ultérieurement, on peut, sans attendre jusqu'à ce moment, faire immédiatement les stibsiitutions dont nous venons de parler; car l'erreur ainsi commise sera passagère et perdra son influence lorsqu'on passera aux limites elles-mêmes.

La valeur d'une fonction dérivée ou d'une fonction intégrale n'est pas changée quand on fait subir aux infiniment petits qui entrent dans leur expression les modifications que nous venons d'indiquer, car ces fonctions représentent précisément les valeurs des limites de rapport ou des limites de somme de ces infiniment petits.

CHAPITllE ni.