SIMPLIFICATION DES ÉQUATIONS INFINITÉSIMALES

58. — Les propositions précédenles servent de base à la méthode infinitésimale et fournissent un moyen assuré d'opérer la simplification des équations.

Deux cas sont à considérer, selon qu'en faisant décroître rinfiniment petit principal, les membres des équations finales convergent vers des limites finies, ou selon qu'ils tendent à s'annuler simultanément.

Dans le premier cas, on peut, d'après la 2« Proposition (N"" 55), altérer chacun des membres de quantités infiniment petites ; car cette altération ne change pas les limites. On peut donc supprimer dans les équations les termes infiniment petits, s1l en existe, ou en introduire

de nouveaux, ou les remplacer par d'autres entièrement

arbitraires. La limite d'un membre d'équation étant égale à la somme des limites de ses divers termes, ce que nous venons de dire pour Téquation prise en bloc s'applique à chaque terme isolément. Ainsi les divers termes de Féquation, qui ont dçs limites finies, peuvent être altérés de quantités infiniment petites, d'une manière tout à fait arbitraire. On peut notamment, si ces termes se présent tent sous forme de limites de rapports, en altérer le numérateur et le dénominateur de quantités infiniment petites relativement à eux-mêmes : puisque d'après la iir proposition (N° 57) la valeur de la limite n'est pas changée. Des altérations analogues sont permises, d'après la même proposition, si les termes affectent la forme de limites de sommes. Cette fkculté permet en certaines circonstances de se débarrasser, par des suppressions pures et simples ou par des substitutions, d'une multitude de termes qui compliquent inutilement les équations finales, en entravent le calcul, et masquent les véritables relations qu'elles expriment.

Si les meaA)res d'une équation tendent à s'annuler avec rinfiniment petit principal , c'est que leurs divers termes sont infiniment x>etits. Je dis que dans ce cas on peut supprima immédiatement tous les infiniment petits autres que ceux dont l'ordre est le moins élevé. En effet, une équation dont les deux membres ont pour limites zéro n'est pas destinée à rester sous cette forme, car elle fournirait l'identité insignifiante = 0. Mais elle doit réellement conduire à des quantités finies, soit en divisant \<m& les termes par un même infiniment petit, soit en faisant la somme d'une infinité d'équations analogues. Si, par exemple, l'ordre le moins âevé est le premier, il est clair qu'en

MÉTBODfi IlfPmiTÉSIXALE. idS

divisant par an iofiDîment petit de cet ordre, les termes da premier ordre fourniront des rapports finit, et tous las autres des rapports infiniment petits, lesquels, d*après ce qui précède, pourront être négligés. Si Tordre le moins élevé était le second, on diviserait par ua infiniment petit du second ordre, et tons les termes de degrés supérieurs donneraient des quantités infiniment petites. Ainsi, d'une manière générale, on peut supprimer dans Téquation pro^ posée tous les infiniment petits autres que ceux de Tordre le moins élevé; ou, ce qui revient au même, altérer ceuxci d'une quantité infiniment petite par rapport à euxmêmes. £n vertu de ce principe, si Ton avait, je suppose, à substituer dans l'équation la valeur d'un infiniment peUt donnée par une série de termes de divers ordres, on se contenterait d'écrire ceux de Tordre le moins élevé*.

Les considérations qui précèdent s'appliquent aux équations finales, c'est-à-dire à celles pour lesquelles il ne reste plus qu'à passer aux limites des quantités variables qu'elles renferment. Il est facile de pousser plus loin cette simplification.

Le plus souvent, les équations finales ne s'obtiennent pas directement, et Ton y parvient après une succession d'équations intermédiaires, dans lesquelles sont engagées,

^ C'est ce qpï arriverait» par exemple , si l'cm avait à remplacer, dans réquation finale » l'accroissement A y par sa yaleur en fonction de l'accroissement de la variable indépendante :

on pourrait se borner à écrire f'ix)^x à la pitee éesy.

i6& TROISIÈME PARTIE.

SOUS diverses formes, les quantités variables dont il y aura lieu plus tard de rechercher les limites. Avec ces quantités se trouvent en même temps des infiniment petits, d'ordres supérieurs, destinés à disparaître dans le passage aux limites, et dont nous venons de voir comment la suppression pouvait être opérée, purement et simplement, dans Téquation finale. Mais puisque ces infiniment petits, disonsnous, doivent diparatlre, quelle nécessité de les traîner en quelque sorte dans tout le cours du calcul ? N'est-il pas plus naturel et plus commode d'effectuer la suppression au fur et à mesure que Toccasion s'en présente, c'est-à-dire dès que les éléments inutiles apparaissent dans les formules? Les équations intermédiaires qui auront été l'objet de pareilles simplifications seront nécessairement inexactes; mais celte inexactitude n'est autre que celle qu'on aurait fait naître en opérant uniquement sur les équations finales ; et nous avons vu que de telles erreurs perdent leur influence, ou plutôt cessent d'être des erreurs , dès que le passage aux limites est effectué.

59. — C'est dans ce genre de simplifications (des équations intermédiaires) qu'il convient d'apporter la plus grande circonspection pour ne pas risquer de compromettre la rigueur du résultat final. Il faut être bien assuré que la simplification faite en passant aurait pu être légitimement réalisée dans les équations dernières. Supposons, par exemple, que des quantités finies, qui figurent dans des relations intermédiaires, soient destinées à s'évanouir, par des compensations encore inaperçues, dms l'équation définitive, en sorte que celle-ci ne doive renfermer réellement que des infiniment petits de divers

ordres. Les simplifications légitimes consisteront évidemment à supprimer tous les infiniment petits supérieurs à ceux du premier ordre et à conserver ces derniers. Si dans une équation intermédiaire on a eu à la fois des quantités finies et des infiniment petits du premier ordre, et si, dans l'ignorance où Ton est encore de la future disparition des quantités finies, on supprime à côté déciles les infiniment petits, on ne retrouvera plus dans l'équation finale les véritables éléments qui devraient s'y rencontrer, et dès lors la valeur des limites ne pourra pas être obtenue *.

Il est impossible de fixer aucune règle générale pour prévenir ce danger. C*est avec une grande habitude de l'analyse qu'on en arrive à cette sorte d'intuition qui fait discerner si telle ou telle suppression dans le cours des calculs est de nature à engendrer une erreur. Cette sûreté de coup d'œil est moins difiicile à acquérir qu'on ne pourrait le supposer au premier abord. Malgré la diversité des questions, les infiniment petits dont on fait usage sont généralement, les uns vis-à-vis des autres, dans des rapports de grandeur connus à l'avance. Quand on traite, par exemple, un problème de géométrie, on est presque toujours amené à la considération de quelque triangle in-

C'est un cas semblable qui se produirait si , rencontrant à la fois dans une équation intermédiaire l'accroissement infiniment petit d'une quantité, diminué de sa différentielle, et des infiniment petits d'ordres supérieurs, on supprimait ces derniers par rapport à l'accroissement et à la différentielle, qui sont du premier ordre. La différence entre ces deux éléments constitue en réalité un infiniment pelit du second ordre, en présence duquel on n'a pas le droit de négliger ceux qui se trouvent dans la même relation.

IW . TiOlSlftlIE PAETIE.

fiftttésimaly comme celui qui est formé par l'accroissement de Tabscisse, l'accroissement de Tordonnée et la corde de Tare. Souvent aussi o» est en présence d'un angle et des lignes trigonométriques correspondantes. Or, l'on sait, une fois pour toutes, à quels ordres d'infiniflMnt petits ces considérations donnent lieu, et l'on ne risque pas de prendre le change sur la grandeur de c^ux qui peuvent être éUnûnés sans inconvénient. C'est ce qui ressortira plus claire* ment du chapitre suivant, où nous passerons en revue les. principaux éléments qui se présentent dans la solution des problèmes de géométrie. La marche suivie pour déterminer les ordres respectifs de grandeur de ces éléments, montrera comment on peut généralement s'en rendre compte et s'édifier ainsi sur la légitimité des suppressions à opérer dans le cours des calculs.

60. — La conclusion générale à tirer des. réflexions précédentes, c'est que les équations infinitésimales sont tot^ours amenées, par des suppressions légitimes, à ne renfermer que des quantités du même ordre de grandeur; puisque toutes celles d'ordres supérieurs disparaîtraient nécessairement dans le passage aux limites.

On doit voir là une sorte de principe A'homogéneïie' analogue à celui d'après lequel, en algèbre, les termes d'une équation exprimant la loi analytique d'un phénomène quelconque, sont tous du même degré.

La règle à suivre, pour ne pas s'égarer dans les simplifications, est done de rendre toiqours les équations A^ntogènes par rapport à l'ordre de grandeur le moins élevé des diverses quantités qui s'y trouvent Et l'on ramène à cette homogénéité non-seulement les équations finales, msà&

encore les équations intermédiaires — à la condition, je le répète, de ne pas prendre le change sur l'importance des quantités, et de s*étre bien assuré que Tordre véritable de grandeur n'est pas déguisé sous de fausses apparences.