INFINIMENT PETITS

61. — Grandeur des lignes irigonome'trtques correspondant à un arc infiniment petit.

Le sinus et la tangente sont des infiniment petits du même ordre que l'arc et peuvent lui être substitués. Le sinus-verse est d'un ordre supérieur : cela ressort de la relation générale

sinus-verse x=l — cosa?=l— \/l — sin^a? ; j d'où, en multipliant et divisant par l+\/l— wn'a?, il

vient :

8111 US- verse a? =

l + \/l — sia*a;

Or, quand x est infiniment petit, le dénominateur du second membre a pour limite 2 , tandis que le numérateur est un infiniment petit du second ordre.

Il suit de là que le cosinus d'un arc infiniment petit diffère de Tunilé par un infiniment petit du second ordre ; car on a i — cosa?=sinus-versea?. Le sinus d'un arc infiniment voisin de 90° diffère pareillement de l'unité par un infiniment petit du second ordre ; car le sinus de cet arc est égal au cosinus d'un arc infiniment petit. On peut dire aussi que la différence entre les sinus de deux arcs infiniment près de 90° est un infiniment petit du second ordre. Tandis que la différence des sinus de deux arcs qui diffèrent infiniment peu l'un de l'autre , mais qui n approchent pas de 90°, est un infiniment petit du premier ordre.

Il n'est pas plus difficile de voir que la différence entre la tangente et le sinus d*un arc infiniment petit est du troisième ordre, car on a généralement :

sino; lang X = ,

dou tangjp — sina;= sma? ;

° cosa?

et, par suite :

sina; x sin-versea;

tanga; — sina; =

cosa;

Si l'arc est infiniment petit, le cosinus a pour limite l'unité, le sinus est du premier ordre et le sinus-verse est du

17e XBÛfiSIÈia PARUE.

second. La fraction qui exprime la différence en question est donc du troisième ordre.

De là résulte encore que la différence entre un arc infiniment petit et sa corde est pareillement du troisième ordre. Eu effet la corde et l'arc sont compris tous les deux entre le sinus et la tangente ^ : leur différence ne peut être supérieure à celle de ces deux limites.