Grandeur des elémenU d'un triangle infinitéêimaL

Les côtés d'un triangle quelconque sonC propoitionnels aux sinus des angles opposés. Si donc les trois angles sont finis, les trois côtés sont du même ordre de grandeur^ c'est-à-dire simultanément fiais ou simultaiiémeiit infiniment petits.

Si l'un des angles est infiniment petit, le côté opposé est infiniment petit par rapport aux autres. D'uù il suil que ces derniers ne diffèrent enire eux que d'une langueur infiniment petite, car leur différence est moindre que le troisième côté. Si, en outre, les deux angles finis sont très-voisins chacun de 90°, la différence des côtés est un infiniment petit du second ordre: cette différence est en effet proportionnelle à celle des sinus, laquelle, d'après ce qu'on a vu plus haut, est du second ordre. On peut d'ailleurs s'en assurer directement, en examinant un triangle rectangle,

' La corde est évidemment plus grande que le sinus et plus petite que la tangente ; d'après la propriété connue des olUiques s'âoignant plus ou moins du pied de la perpendiculaire. Quant à l'infériorité de Tare à la tangente» il suffit pour s'en convaincre de faire tourner la figure aalanr de la sécante et de la rabattre de l'autre côté : le double de l'arc se trouve alors envefop^ par te donMe de la tangente.

MÊToera nfFiHiTÊmuLE.

doBt ran des angles aigus serait infiaiinent petit, et rantre, par conséquent, très-près d^étre drotC. Appelons a l*hypothénuse, i le côté opposé an petit angle et c le troisième ;.

on a :

d'où

û* — c^=b^ , ou (a — c) (fl + c)=:b^ ;

Si a et c sont des infiniment petits du premier ordre, h

oua — e sera

sera du second ou b^ du quatrième, et

du troisième.

Ces remarques trouvent leur application dans le triangle formé par la corde d*un arc de courbe, la tangente et la portion de droite qui représente la différence entre le& accroissements des ordonnées de la courbe et de la tan-

Fig. 8^

gente (fig. S). L'angfe M'MN étant infiniment petit, puis-

172 TROISIÈMB PARTIE.

quM converge vers zéro en même temps que Tare, le côté opposé M'N est infiniment petit par rapport à MN ou PP', c'est-à-dire est du second ordre. Nous Tavions déjà établi par voie analytique (n® 19), car M'N représente Ay — dy. Par suite la différence entre la corde MM' et Taccroissement MN de la tangente est un infiniment petit du second ordre. Par suite encore, la différence entre Tare et la corde est au plus du deuxième ordre. En effet, dans un triangle un côté quelconque est moindre que la somme des deux autres et plus grand que leur différence. On a donc :