LES QUANTITÉS INCONNUES

65. — Il est clair que cette recherche varie selon les problèmes, et que dans chaque cas particulier il y a lieu d établir que la quantité dont on s'occupe peut être considérée effectivement comme la limite du rapport ou de la somme de certaines quantités infiniment petites. Se propose-t on, par exemple, de trouver la longueur d'une courbe , le premier soin est de prouver que cette courbe est la limite de la somme des côtés des polygones inscrits. S'agit-il de Taire d'une courbé , on montre qu'elle est la limite de la somme des petits rectangles formés en menant par l'extrémité de chaque ordonnée de la courbe une perpendiculaire à l'ordonnée suivante. Cherche-t-on l'angle d*une tangente , on s'assure que la tangente trigonométri-

que de cet angle est la limite du rapport de raccroissemeni de Tordonnée à raccroissemeiit de Tabscisse, etc., etc^

Le raisonnement employé pour prouver que les infiniment petits considérés ont pour limité de rapport ou de somme la quantité inconnue, consiste à faire voir que la définition de la limite est satisfaite, c'est-à-dire que la quantité variable représentée par le rapport ou la somme des infiniment petits s'approche autant qu'on le veut de la grandeir fi^e qui est rincoinue de la question. A cet efiet on montre que si Ton prend dans la grandeur fixe des éléments correspondant aux divers infiniment petits, chacun de ces infiniment petits ne diffère de Téléraeat hosiologne que par une quantité infinisent petite par rapport à lui-méoK. Or, on sait^ en ce cas, d'après les propositions établies aux n°* 55 et 56, que la limite des infiniment petits est la même que celle des éléments, c'està-dire est égale à la grandeur fixe elle-même.

66. — Considérons, par exempte. Taire A BDG (fig. 5), comprise entre une courbe A B, l'axe des abscisses et deux ordonnées AC, BD. Je veux montrer que cette aîre est hi Hmite de la sonsme des rectangles tels queMPP'H, formé en étevant deux ordonnées infiniment voisines M P, M' F, et menant M H parallèle à Taxe des abscisses. Je prouverai que ce rectangle infinitésimal ne diffère de l'étément homoïogne MBf FP, appartenant à fei surface dbnnée, que par une quantité M M' H infiniment petite par rapport au rectangle hiî-même. On s'en assure atséflueat en remarqnant que M M' H est moindre que jNBM'K, quantité égale à MH x H M' ou à Aj^.ây. Or, ce produit est un infiniment petit du second ordre, tandis qne le ree-

BIËTBODE INMRl'i'ÉSnUlE.

tangfe en question MH FP est mesuré par MP x PF on par yAjT, infiniment petit du premier ordre. La Hmîte de

Fig. 5.

la somme des rectangles tels qoe MPFH ne diffère donc pas de la limite de la somme des surfaces M M' P' P, c'està-dire ne diffère pas de la surface donnée elle-même.

Il n'y aurait pas plus de difficulté à prouver qu'un arc de courbe est la limite des périmètres inscrits. Car soit MI M' (fig. 6)» un arc infiniment petit correspondant à

l'un des côtés MM' du polygone inscrit»

Nous avons vu précédemment (n® 59) que la différence entre Tare et la corde est infiniment petite par rapport à la corde elle-même. Ainsi, en augmentant chacun des termes qui figurent dans la r^ ^ somme des cordes^ d'une quantité in-

finiment petite par raïqport à lui-même, on reproduirait la

quantité cherchée , qui est la longueur de la courbe donnée. Cette dernière est donc la limite de la somme des cordes.

67. — Une même quantité peut être considérée comme limite d*une fouie d'autres. Ainsi une courbe est aussi bien la limite des périmètres circonscrits que des périmètres inscrits; elle Test également d'une série de tangentes arrêtées chacune à l'ordonnée du point de contact suivant; elle Test encore d'une série de droites quelconques, non tangentes à la courbe, mais qui s'en rapprocheraient indéfiniment d'après une loi donnée. De même l'aire d'une courbe est la limite des trapèzes formés par deux ordonnées consécutives, et dont le côté supérieur se rapprocherait de plus en plus des extrémités de ces ordonnées. De même encore la tangente à une courbe est aussi bien la limite d'une sécante qu'on ferait tourner autour d'un de ses points de rencontre, que la limite d'une sécante qui s'éloignerait parallèlement à elle-même de l'intérieur de la courbe, etc. Dès lors, on demeure maître de choisir entre les divers infiniment petits ceux qui paraissent ofl'rir le plus de facilités pour le calcul. Quant aux règles qui doivent diriger ce choix, il est impossible d'en préciser aucune. C'est l'habitude de l'analyse qui seule donne le discernement nécessaire en chaque cas.

Les quantités s'expriment tantôt sous forme de limite de rapport, tantôt sous forme de limite de somme. Ce n'est pas arbitrairement qu'on a recours, dans chaque cas, à lune ou à l'autre de ces limites, et que la question se résout par des différentiations ou par des intégrations. Si l'on pouvait emprunter à volonté l'une des deux formes,

on se prononcerait toujours pour celle de rapport, parce que le calcul des dérivées est bien plus assuré que celui des îniégrales. La nature de l'expression est déterminée par les conditions mêmes de la question. Selon que telles quantités ou telles autres sont assignées d'avance, les quantités inconnues sont formées par des limites de i*apport ou par des limites de sommes. Ainsi, dans un mouvement rectiligne varié, si c'est Fespace parcouru qui est

donné en fonction du temps, la vitesse s'exprime par une

limite de rapport (lim. •— , s étant l'espace et / le temps); si

c'est la force qui est connue, la vitesse s'exprime par une

limite de somme ( / Prf/, P étant la force). Dans aucun cas

on n'a la possibilité de recourir indifféremment à l'un des deux modes de limite pour obtenir la quantité inconnue. Il n'y a d'exception à cette règle que si les données du problème sont en nombre surabondant. C'est ce qui arriverait dans l'exemple ci- dessus, où l'espace et la force seraient simultanément connus à priori ; la valeur de la vitesse s'obtiendrait à volonté par une limite de rapport ou par une limite de somme. Ce cas nécessite, disons-nous, des données superflues ; car si, dans une certaine question, on trouve

que la quantité est égale à la fois à lim-T^ et à lim.ZrAar,

y ^i z étant des fonctions connues de â? , il en résulte

-^ = Wm.lzLx , d'où y = ç («) 5 ainsi l'une des

quantités y et r pourrait se déduire de l'autre. Si donc, comme on le suppose, elles sont assignées toutes deux à priori y le nombre des données de la question se trouve

lim. ^ - ■=

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