L'EXPRESSION DES LIMITES

68. — Ce n'est pas tout que d'avoir discerné les infiniment petits dont les rapports ou les sommes ont pour limites les quantités cherchées. Il faut encore , ainsi que nous l'avons indiqué au chapitre vi% savoir calculer la valeur de ces limites , par les procédés connus de la différentiation ou de l'intégration. Il faut donc ramener à

Af(x) la forme —ir-^ et IfQt) Aar des expressioDS telles que

■z et 27, a, 6 et 7 étant les infiniment petits sur lesquels porfeni les limites considérées. C'est ainsi que lofsqu'on cherche la longueur d'un arc de courbe, et qu'on a

reconnu que cette longueur est égale à lim.2/, / reprélentant la longueur d'une corde inscrite, on doit s'occuper de remplacer / par /[x) Ar, /(a?) étant une fonction quelconque de ^ ; de telle sorte que le calcul de linul/ puisse être effectué par Vintégration de f(x)\x.

En un mot, il est nécessaire d'exprimer les divers infiniment petits dont on fait usage en fonction d*un seul d'entre eux, par exemple en fonction de Taccroissement de la variable indépendante. Ou aperçoit, en effet, que dans le cas où nous nous plaçons , d'une seule variable indépendante, les accroissements des diverses quantités doivent dépendre de l'accroissement de cette dernière.

C'est surtout à ce point de l'élaboration qu'on retire la plus grande utilité des c>)nsidérations exposées précédemment. La détermination des infiniment petits en fonction les uns des autres est constamment facilitée par cette circonstance capitale, qu'au lieu de chercher à établir entre eux des équations exactes — ce qui présente le plus souvent des obstacles insurmontables , — on peut omettre tous les infiniment petits d'ordres supérieurs qui devraient figurer dans ces équations pour qu'elles fussent absolument rigoureuses, mais qui en disparaîtraient nécessairement plus tard par suite du passage aux limites.

Et non-seulement on peut négliger ces quantités d'ordres supérieurs, mais il n'est pas même nécessaire de chercher à les mettre en évidence, ni d'établir aucune relation analytique approchée entre les deux infiniment petits qui doivent se remplacer l'un par l'autre. Il suffit tout simplement de s'assurer que la différence entre ces infiniment petits est d'un ordre supérieur, et dès lors la substitution peut s'effectuer sans autre détermination.

Nous avons vu, dans le chapitre v®, comment on apprécie, dans certains cas, l'ordre de grandeur des infiniment petits. Il est facile dVn conclure la marche générale à suivre. C'est du reste ce qui sera éclairci par les exemples que nous allons traiter.