DE LA COURBURE D'UN ARC DE COURBE

69. — Nous plaçani actuelh ment au point de vue développé dans les deux chapitres précédents, nous appliquerons laniéthode infinitésimale à la solution de quelques problèmes des plus usuels.

Détermination de la longueur d'un arc de courbe. — Pour déterminer la longueur d'un arc de courbe, nous sommes amenés, comme on Ta vu, à calculer la limite vers laquelle tend la somme des cordes inscrites. Afin d'exprimer Tune de ces cordes MM' (fig. 7) sous la forme

UÈIBÙM JanSiTÈOMALE.

in

Fig. 7«

voQlae, f{x)^y remarquons que ie triangle M M' H donne :

MM' = V'mF+M^= Va]?+â^

Mais à mesare que chaque corde devient plus petite, e rapport ^ tend k se confondre avec fQt) ou ^. On

ParVU-ê

peut donc remplacer l/i -h (^) par 4/:

a ëta«t «m quantité infiniment petite par rapport à

y 1 + ^, puisqu'elle s'annule avec A^r. Au lieu de chercher la valeur de a pour exprimer exactement la longueur

192 ' TROISIÈHE PARTIE.

de la corde, on la néglige purement et simplement, parce qu*on sait fort bien qu'elle disparaîtrait lorsqu'on prendrait la limite de la somme de toutes les cordes. On obtient ainsi :

(1) MM' = (te 4/7+

expression qui a bien la forme voulue /'(ar)Ary puisque ^3 étant le carré de la dérivée de la fonction qui exprime

Tordonnée de la courbe, le radical K/i + -J^ représente

une certaine fonction de x.

De là on déduit, en désignant par o-q et ^r^ les abscisses correspondant aux extrémités de Tare total AS dont on cherche la longueur:

=/Xv/i+î

(2) AS=ldx\/i+^.

En désignant Tare par s et sa différentielle par ds , on peut remplacer MM' par ds. En effet, la corde diffère de Tare sous-tendu d'un infiniment petit de 2** ordre; cet arc sous-tendu • qui représente Taccroissement A« de Tare A M , diffère de la différentielle ds d'un infiniment petit du 2** ordre; donc aussi la corde diffère de la différentielle d'un infiniment peiit du 2' ordre. Dès lors on peut les substituer l'une à l'autre sans crainte de compro* mettre le résultai obtenu par le passage aux limites. La

relation (1) prend la forme suivante , sous laquelle on la donne ordinairement :

ds = dxU[