Détermination de la courbure d'une courbe

Cette question conduit, comme on sait, à calculer la limite vers laquelle tend le rapport de Tare à Tangle extérieur formé par les deux tangentes extrêmes, à mesure que la longueur de cet arc diminue indéfiniment. C'est ce qui résulte de la définition même de la courbure, dont nous rappellerons les principes.

On doit définir la courbure d'une manière analogue à la vitesse, c'est-à-dire considérer d'abord une ligne uniforme ou régulière, et passer ensuite à une ligne quelconque.

Une ligne est régulière lorsque les angles formés extérieurement par les tangentes menées aux extrémités d'arcs égaux, sont égaux, quelle que soit la longueur des arcs. L'angle correspondant à l'unité de longueur de l'arc, on le rapport constant des angles aux arcs interceptés est ce qu'on nomme la courbure de la ligne. — Les seules lignes régulières ou à courbure constante sont la ligne droite et la circonférence. Encore convient-il d'exclure la première, qui n'a pas, à proprement parler, de courbure, puisque le rapport dont il s'agit est égal à zéro. — Dans un cercle, l'angle extérieur des tangentes est égal à l'angle au centre, et celui-ci est égal à l'arc intercepté divisé par le rayon. Donc la courbure, qui est représentée par le rapport de l'angle à l'arc, est également exprimée

par l'unité divisée par le rayon, c'est-à-dire par — .

Dans une courbe irrégulière, c'est-à-dire où le rapport de Tangle à l'arc n'est pas constant, on nomme courbure en un point quelconque la limite vers laquelle tend le rapport de l'angle extérieur à l'arc pris à partir de ce point, à mesure que l'arc diminue indéfiniment. On nomme cercle de courbure celui qui aurait la même courbure

que la courbe en ce point, ou dont le rayon serait tel

que ^ fût égal à la limite dont nous venons de parler. Le

rayon de ce cercle est nommé rayon de courbure de la ligne ; il a pour valeur l'unité divisée par la valeur de la courbure.

Reprenons actuellement le problème que nous nous sommes proposé.

Soit AB (fig. 9) la courbe donnée. Il s'agît de délermi-

Fig. 9.

ner la valeur de la courbure en un point quelconque M.

Si je prends, à partir de ce point, un arc MM', et que je mène les tangentes MT, MT, la limite du rapport de Tangle extérieur TIT' à la longueur de Tare MM' fournira la quantité cherchée. Mais cet angle n*est antre chose que Taccroisscment AY de Tangle Y formé par la tangente à la courbe avec Taxe des abscisses, quand on passe du point M au point M'. De même Tare MM' est raccroîssement de

Tare s compté à partir d*une certaine origine. La limite en

question est donc celle du rapport — .

Cette limite aurait la forme voulue \ , et pourrait

être calculée immédiatement, si s était la variable indépendante, et si Y était une fonction connue de s. Elle serait

d\ alors fournie par la dérivée -r-. Mais comme nous avons

coutume de prendre Tabscisse pour variable indépendante, les quantités Y et « doivent être considérées toutes deux comme fonction de x. Or, on sait dans ce cas (n** 28) que la dérivée de Y prise par rapport à «, comme si s était la variable indépendante, est égale au rapport des dérivées de Y et de *, prises par rapport à la véritable variable

indépendante a?. Donc la courbure cherchée , ou lim -^

dêP est donnée par la fraction -^ — , dans laquelle le numé-

dx rateur et le dénominateur représentent des dérivées de forme connue. Il ne s*agit plus que d*en calculer les valeurs.

A cet effet , remarquons que 1 angle Y ayant pour tangente trigonométrique -r- 9 on en déduit :

dPy

, dy ^ dV dx"

V = arc tang -f- et -t" =

dx dx . dtp"

D'autre part, nous avons trouvé précédemment ;

dx \ ^'^ dx^

Il en résulte, en appelant R le rayon de courbure :

,. AV 1 dx'

Jim -r- ou rr =

On arrive plus rapidement à la même conclusion en

lemarquant que dans l'expression lîm — on peut , sans

altérer la valeur de la limite, remplacer les accroissements de l'angle et de l'arc par leurs différentielles (qui n'en diffèrent que par des infiniment petits d'ordres supérieurs),

AV dV

en sorte que lim — = ^; d'où résulte la formule ci-dessus, d'après les valeurs connues de dN et de ds en fonction de X, Mais cette manière de procéder ne se distingue pas réellement de la première \ car, prendre les différentielles

de V et de * par rapport à x, c'est supposer implicite-

dV ment que Texpression -^ est remplacée par celle-ci :

rfV dx