CHAPITRE IX

SUITE DE L'APPLICATION DE LA MÉTHODE INFINITÉSIMALE. — DÉTERMINATION DU CERCLE OSCULATEUR.

72. — La recherche du cercle osculateur n'étant qu'un cas particulier de la théorie générale des contacts^ nous croyons devoir rappeler cette dernière.

La théorie des contacts, due, comme on sait, à Lagrange, est basée sur le principe suivant :

On dit que deux courbes ont, en un certain point, un contact de Tordre n , lorsque la différence des ordonnées des deux courbes, correspondant à un accroissement infiniment petit de Tabscisse, est un infiniment petit de Tordre n+i • — Cette condition est évidemment réalisée quand les fonctions des deux courbes et les dérivées de ces fonctions.

jusqu'à Tordre n inclusivement, prennent les mêmes valeurs pour les coordonnées du point de contact — .

Voici, en résumé, les considérations qui ont conduit Lagrange à établir celte remarquable classification des contacts.

Par un même point on peut faire passer uue infinité de courbes tangentes à une courbe donnée ; car ces courbes sont assujetties à la seule condition que leurs dérivées premières soient égales, pour le point commun supposé , à la dérivée de la courbe donnée : c'est le contact du pretnier ordre. Si Ton fait croître l'abscisse d'une quantité infiniment petite, la différence des ordonnées des diverses courbes est un infiniment petit du deuxième ordre : car si, pour chaque courbe, on développe la valeur de Taccroîssement de l'ordonnée, d'après la série de Taylor, on aura :

1° Pour la courbe y = f(^x) ,

2° Pour une autre courbe y, = cp(a?) ,

Ay. = ^\x) Ax+ f{x) ^ + f'{x) ^

et la différence ^y^ — Ay sera du deuxième ordre, puisque par hypothèse f (x) = cp' (ar).

Cela posé, remarquons que les diverses courbes pourront être très-inégalement tangentes à la courbe donnée, selon que la différence des ordonnées sera plus ou moins petite. Si l'une de ces courbes, par exemple, est telle que

la dérivée seconde ait la même valeur que la dérivée seconde de la courbe donnée, la différence Ay^ — Ay sera un infiniment petit du troisième ordre. Dans ce cas, le contact sera beaucoup plus intime, puisque, dans le voisinage du point commun, les deux courbes seront infiniment plus l'approchées que celles dont les seules dérivées premières sont égales, et ce contact est dit du second ordre.

En continuant de la sorte, on aura des contacts de plus en plus intimes, à mesure qu'un plus grand nombre de dérivées auront les mêmes valeurs pour le point commun. D'une manière générale , on appelle, comme nous l'avons dit en commençant, contact de Tordre n celui qui correspond à régalité de n dérivées successives, ou pour lequel la différence des ordonnées est un infiniment petit de Tordre n-i- 1.

Il est aisé de se rendre compte des circonstances qui permettent à une courbe d'avoir un contact d*un ordre plus ou moins élevé avec une courbe donnée. Chaque degré dans Tordre du contact correspond à Tégalisation d'une dérivée. Il faut donc que la courbe tangente ait autant de paramètres ou constantes arbitraires qu'il y a d'égalités semblables à satisfaire ou qu'il y a d'unités dans Tordre du contact, sans parler de la relation qu'elle doit déjà vérifier comme ayant un point commun (le point de tangence) avec la courbe donnée. Pour qu une courbe puisse être tangente jusqu'à Tordre n, son équation doit comprendre au moins n + 1 paramètres dont on puisse disposer, savoir : un paramètre pour la condition du point commun, et n autres paramètres pour réduire â Tordre w + 1 la différence des ordonnées des deux courbes.

De là résulte que pour chaque espèce de courbe. Tordre

202 TBOISIËME PARTIE.

du contact est limité par le nombre maximum de para-mètres que comporte l'espèce de la courbe.

Parmi toutes les courbes de même espèce (ou ayant même nombre de paramètres), on nomme courbe osculatrice celle dont le contact est de Tordre le plus élevé possible.

La ligne droite (qui est une variété de courbe) a au plus 2 paramètres : son contact le plus intime est donc le contact du premier ordre ; ce qui est évident de soi , car des droites ne peuvent être plus ou moins tangentes à une courbe donnée.

Le cercle a au plus 3 paramètres : son contact le plus intime sera du second ordre, et le cercle osculateur en un point donné d'une courbe sera déterminé par les 3 équations exprimant : l°que la circonférence passe parle point donné ; 2^ que la dérivée première est égale à celle de la courbe ; 3° que la dérivée seconde est pareillement égale à la dérivée seconde de la courbe donnée^.

Quand on écrit ces 3 équations et qu*on en déduit la longueur du rayon, on trouve qu'elle est égale à

— — 5 ce qui est précisément l'expression du rayon

dx" de courbure. Ainsi le cercle de courbure et le cercle osculateur se confondent. Il était facile de le prévoir ; car quel est le cercle qui pourrait mesurer la courbure

^ La parabole comportant 4 paramètres dans son équation, le contact d'une courbe avec une parabole peut être plus intime qu'avec un cercle. Le contact d'une ellipse peut être plus grand encore, puisque son équation renferme 5 paramètres.

d'une ligne, sinon celui qui a avec cette ligne le contact le plus intime possible?

73. — La détermination du rayon du cercle osculateur n'est pas, à proprement parler, une application de la méthode infinitésimale : c'est une question de pure algèbre, qui consiste à résoudre un système d'équations à plusieurs inconnues, sans qu'il y ait lieu de faire intervenir aucun des théorèmes démontrés sur les limites et les infiniment petits. Le même problème peut être traité ^ un point de vue véritablement infinitésimal, de la manière suivante :

Soit AB une courbe (fig. 10), et MCQ le cercle osculateur cherché en un point M de cette courbe.

Fig. 10.

Le centre du cercle se trouve évidemment situé sur la normale M C de la courbe, puisque la courbe et le cercle

20li TROISIÈME PARTIE.

ont la même tangente M T. Reste à déterminer la longueur MC. Or, si Ton prend sur le cercle un arc infiniment petit Mm', le rayon, qui est égal au rapport constant de Tare à Tangle extérieur des tangentes, quelle que soit la grandeur de Tare, sera égal au rapport de Mm' à Tangle T«/'. D'un autre côté, si Ton considère, sur la courbe. Tare M M' et Taugle T'IT, correspondant au même accroissement de Tabscisse, le rayon de courbure de la