MM

courbe sera exprimé par lim jûttw^ • H est facile de voir

que les arcs MM' et Mm', qui sont les accroissements des longueurs des deux courbes, et les angles T'IT, Tit' qui sont les accroissements des inclinaisons des tangentes, ne diffèrent respectivement entre eux que par un infiniment petit du second ordre. En effet, la différentielle d'un arc de courbe quelconque est représentée par

dxK/i + -r-i : celte quantité à la même valeur pour

la courbe et pour le cercle puisque, par hypothèse, la dérivée première est la même de part et d'autre. Donc les accroissements MM' et Mm', qui diffèrent respectivement de leurs différentielles par un infiniment petit du deuxième ordre, ne peuvent avoir entre eux qu'une différence de cet ordre. Pareillement, la différentielle de l'angle formé par la tangente avec l'axe des abscisses est

exprimée par -7-^ : cette quantité a encore la même

valeur pour la courbe et pour le cercle, puisque, par hypothè e , les dérivées première et. seconde sont égales des deux côtés. Donc les accroissements T'IT, Tit'ne

diffèrent entre eux que par un infiniment petit du second ordre.

De là résulte que la limite du rapport de Tare à Fangle, appartenant à la courbe, est identique à la limite du rapport des quantités analogues, appartenant au cercle. Or ce dernier rapport est constant , quelle que soit la grandeur de Tare, et est égal au rayon. Ainsi le rayon du cercle