CHAPITRE XL

AUTRE MANIÈRE DB PRÉSENTER LES RÉSULTATS QUI PRÉCÈ- DENT, OU MÉTHODE D'ASSIMILATION. — APPLICATION A LA DÉTERMINATION DE LA LONGUEUR ET DE L'AIRE D'UNE COURBE.

77. — La facalté de remplacer Tune par Taatre, dans m calcul de Iknîles, deux quantités infiniment petites qui ne diffèrent entre elles que par un infiniment petit d*ordre supérieur, revient à considérer ces quantités comme identiques au point de me du calcul à efliectuer. En d'autres termes, on peut les assimiler l'une à l'autre, et s'en servir indifieremment dans le cours du raisonnement. De là le nom de méthode d'assimilation, par lequel on peut désigner ce mode de démonstration.

En se ptaçant à un semblable point de vue, on réussit

à abréger sensiblement le discours ; et cela se conçoit , puisque, étant admis une fois pour toutes que les quantités sont parfaitement assimilables, il devient inutile, à chaque substitution opérée dans la suite du calcul, de rappeler les principes qui rendent cette substitution légitime. Nous avons vu, par exemple, que la différence entre un arc de courbe infiniment petit et la portion de la tangente interceptée par les mêmes ordonnées, est une quantité infiniment petite du second ordre, et que dès lors ces deux longueurs peuvent être remplacées Tune par Tautre dans toutes les expressions de limites de sommes ou de limites de rapports. Nous énoncerons cette vérité en d*aulres termes , en disant que Tare de courbe peut être assimilé à une droite, sur une portion infiniment petite de sa longueur; et quand nous aurons à figurer cet arc géométriquement, nous lui donnerons une apparence rectiligne. Les relations déduites de Texamen de la figure seront toujours établies en supposant que cet arc est effectivement une très-petite ligne droite. De même, dans un mouvement rectiligne varié, Fespace parcouru au bout d*une durée infiniment petite, ne diffère que par un infiniment petit du second ordre de celui qui serait parcouru si la vitesse demeurait constante. On assimile donc ces espaces Tun à Tautre, ou, ce qui revient au même, on considère le mouvement varié comme uniforme pendant un temps infiniment court On dit aussi que Télément^

' 11 faut se garder d'attacher au moi élément, ainsi employé, l'idée d'aucune partie constitutive. L'élément n'est pas une portion déterminée de la grandeur considérée. Ce terme est simplement synonyme d*tn/îniment pe/t(. Quand on dit que les éléments d'une courbe sont rcctilignes, cela signifie que, sur une longueur infiniment peUte, Tare de courbe peut,

MÉTHODE INFraiTÊSlMALE. 217

d'oBO courbe est rectilignef et que rélément d*un mouvement varié est uniforme.

C'est d'après le même ordre de considérations que Taccroissement infiniment petit d'une quantité est désigné par la différentielle, et que, selon les besoins du calcul , on écrit indifféremment dans les formules Ay ou dy ; bien que ces symboles ne corrrespondent pas, en réalité, à des grandeurs identiques, mais parce que la différence entre elles est un infiniment petit d'ordre supérieur. Cette assimilation s'étend aux diverses catégories de différentielles, et on écrit à volonté à}y ou d^y^ A*y ou d^y , etc., etc.

Pour bien apprécier la méthode dont nous parlons, il convient de l'étudier sur divers exemples. Aussi reprendrons-nous, à ce nouveau point de vue, les principaux cas traités précédemment, et nous rechercherons de quelle manière la forme du raisonnement se trouve modifiée.

78. — Occupons nous de déterminer la longueur d'un arc de courbe AB (ûg. ik).

Soit MM' un élément de la courbe. MenonsMes coordonnées MP, MT', des extrémités, et traçons M H parallèle à l'axe des abscisses. Le triangle MM' H étant rectangle, on a :

Or M H, M' H et MM' représentent rectivement les dîffé-

au point de Tue d'un calcul de limites ,. élre considéré comme une ligne droite, et les formules être établies en conséquence.

reDtielles de Tabscisse, de Tordonnée et de Tare de la

Fig. 14.

courbe y c'est-à-dire dx, dy et ds. Cette relation prend donc la forme suivante :

cfc = \/(ic* + dy* ou às = dxyi + -^ ;

d*où, en désignant par Xo et jr^ les abscisses OC et OD des extrémités de Tare donné :

s=fZ\/i+%-

C^te imégrale a la forme yoQffie / f{x) dx , pwsque

n^ est le carré de la dérivée de la fonction qui exprime Tordonnée de la courbe.

MÉTHODE mPINITÊSDiALE. 219

Le procédé dont nous venons de faire usage est bien plus expédilif que celui qui est présenté au n*" 69. Mais il est visible que sa plus grande simplicité tient uniquement à ce qu*on yjsous-entend certains principes formulés explicitement au numéro précité. En effet, pour que la relation fondamentale des triangles rectangles soit applicable au contour MM' H , il faut que MM' soit une ligne droite ou puisse être considérée comme telle. D*autre part, pour que M' H puisse être remplacée parc^y, il faut que le point M' appartienne réellement à la tangente M T. De ces deux conditions réunies, il suit que Tare MM' est implicitement assimilé à la portion M N de la tangente MT. Or, ce qui fait la légitimité de cette assimilation, c'est précisément la faculté de remplacer les uns par les autres des infiniment petits qui ne diffèrent entre eux que par un infiniment petit d'ordre supérieur. C'est le même motif qui permet d'écrire immédiatement ds au lieu de MM' ou A« ; car la différentielle et l'accroissement sont égaux, à un infiniment petit près du second ordre. En résumé, la méthode ci-dessus n'est plus rapide qu'en apparence, et elle présuppose la démonstration rigoureuse des théorèmes relatifs aux infiniment petits.

79. — Évaluons maintenant la surface ABDC (fig. 15) comprise entre la courbe AB, Taxe des abscisses et les ordonnées AC, BD.

Soit MPP'M' un élément de la surface, c'est-à-dire une bande correspondant à l'élément M M' de la courbe. L'aire de ce trapèze infinitésimal est égale à la hauteur PP' mnltipliée par np, parallèle à la base M P, et à égale distance de cette base et de M' F. 0» a donc :

330 TBOISIÈUE P&BTIE.

MPP'M' = »pXPP' .

Mais PP' et M P P' M' peprésenlenl respecUvemeot les différenlieHes dx et dk de l'ubscisse et de l'aire cherchée.

Quanl à »;> , iafinimeot voisin de MP, on peut le remplacer par y. Il en résulle :

et , en inlégrant , ^ = / V'^-

Il y a lieu -de fbire les mêmes remarques que pour la qucsiion précédeoie ; car ce sont encore les mâmes principes qu'on sotis - enlenil pour donner plus de simplicité apparente au raisonnement. Si MPP'M' est un trapèze, c'est parce que M M' est assimilé à une ligne droite ; et si

np est remplacé par yj c^est parce que ces deux droites,

qui sont finies, diffèrent d*une quantité infiniment petite'; si enfin MPFM' est représenté parc^A, c'est parce que la difi'érentielle de Taire et son accroissement peuvent être substitués Tun à Tautre. En y regardant de près, nous retrouvons ^insi tous les éléments des démonstrations données antérieurement.

^ On peut dire aussi que la substitution de y à np revient à substituer le rectangle M P P H au trapèze M P P' M'. C'est à cette conclusion que nous arrivions au n* G6, et cela parce que le rectangle et le trapèze ne diffèrent entre eux que par un inQniment petit du second ordre.