CHAPITRE XII

SUITEIDE LA MÉTHODE D'ASSIMILATION. — APPLICATION A LA THÉORIE DES CONTACTS ET AU CERCLE

0SCULATE13R.

80. — Dans la méthode d^assimilation , on dit que deux courbes qui ont un contact de Tordre w, peuvent être considérées comme ayant n éléments consécutifs communs ou n + 1 points communs infiniment voisins. C'est la généralisation du point de vue relatif au contact simple ou contact du premier ordre : la courbe est considérée comme ayant un Clément commun avec sa tangente.

Il importe d'expliquer Torigine et le véritable sens de cette locution.

On sait que le contact de deux courbes est appelé de Tordre n , lorsque la différence des ordonnées relatives à

MÉTHODE INFINITÉSIIIÀLE. 22$

un accroissement infiniment petit de Tabscisse est une quantité infiniment petite de Tordre w -f- 1 ; et cette condition est elle-même remplie lorsque les fonctions des deux courbes, et leurs dérivées jusqu'à Tordre n inclusivement, sont égales chacune à chacune, ou, ce qui revient au même, lorsqu'on a la suite de relations :

hm-r^ = lira-r- ,

lira -r^- = lim r— r

,. A"y ,. A"Y hm T--^ = im T — ;

2/ et Y désignant respectivement les ordonnées des deux courbes. *

Or prenons sur Tune des deux courbes, à partir du point de contact ^, ^, un second point dont les coordonnées soient j? + Aa? et y + Ay. La différence Ay représente la différence des ordonnées de ces deux points ,

et la dérivée ^ ou lim -^ correspond à la considération

de deux points de la courbe. «

Si je donne à Tabscisse un nouvel acccroissement Lx , il en résultera un nouvel accroissement pour Tordonnée, et un troisième point sera déterminé sur la courbe. Soit Ay, ce nouvel accroissement de^. La différence entre

22/i TROISIÈME PARTIE.

le premier accroissement de l*ordounée et celui-ci sera, â*après les notations adoptées dans le calcul infinitésimal ,

représentée par A'y ; et la dérivée t~ ou lim ^^ s'introduit ainsi à la suite de la considération de trois points de la courbe.

Si je fais encore croître l'abscisse de la même quantité, j'aurai un nouvel accroissement Ays de l'ordonnée et un quatrième point sur la courbe. Entre le second, le troi^ sième et ce dernier, je pourrai former une nouvelle différence seconde A^y^ , comme j'en ai formé une entre le premier, le deuxième et le troisième point. La différence entre ces deux différences secondes est représentée par

A*y ; en sorte que la dérivée -j^ ou lim j^ s'introduit

à la suite de la considération de quatre points de la , courbe.

£n continuant à raisonner ainsi, on voit que la dérivée

^-^ implique, pour ainsi dire, qu'on envisage sur la

courbe n+i points consécutifs , obtenus en augmentant chaque fois l'abscisse de la quantité Ar.

D'après cela , quand on suppose que les courbes ont un contact de l'ordre n , ou que les n premières dérivées de leurs fonctions sont égales chacune à chacune, on se trouve dans le même cas que si ces deux courbes avaient n + i points consécutifs communs ', ce qui signifie que si ces n + 1 points étaient communs en effet , les dérivées auxquelles pourrait donner lieu la considération des différences de divers ordres de leurs coordonnées, seraient entre elles dans les mêmes relations que lorsqu'on sup-

pose simplement Texistence d'un seul point commun et 4]n contact de Tordre n en ce point. C'est dans ce sens «iniquement qu'on doit entendre que deux courbes ont tft + i points ou n éléments communs.

D'après ces locutions , on déGnit la courbe osculatrice d'une courbe donnée en disant que c'est celle qui a avec «lie autant de points communs qu'il y a de constantes ou de paramètres arbitraires dans son équation. La ligne droite a donc, ainsi que nous l'avons déjà dit, un seul élément commun avec une courbe, et le cercle osculateur «n a deux.

81. — Les personnes qui débutent dans l'étude de l'a- -nalyse, et qui entendent dire que deux courbes dont le contact est de l'ordre n, ont n + i point communs infiniflient rapprochés, conservent parfois des idées très-vagues et souvent même fausses de cette manière d'exprimer le phénomène. Aussi croyons-nous devoir donner encore quelques explications.

Au fond, deux courbes ne peuvent pas plus avoim+ 1 point communs , qu'il n'est possible à la droite tangente d'en avoir deux et au cercle osculateur d'en avoir trois. Quelque intime que soit le contact, les lignes se touchent toujours par un point unique ^ Ce qui distingue le contact de la simple rencontre, et, parmi les divers contacts , ce

^Cq point de vue était nettement accusé dans la géométrie ancienne, où l'on définissait lignes tangentes celles qui se touchent par un seul point. Cette définition , bien que devenue insuffisante par suite des travaux de généralisation réalisés par la géométrie moderne, n'en est pas moins le vélitable germe de toute notion juste du contact.

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qui en marque le degré, c'est la manière dont les lignes se comportent dans les environs du point commun. D'une «panière absolue et en la prenant à la lettrç , l'expression diéléments communs à deux lignes ne signifie rien. Dans une ligne il n'y a pas d'éléments indiviêihleê^ conçus comme réunissant deux points réellement eenséeutifs ou eiitre lesquels aucun autre point ne pourrait se trouver. Il y a des arcs plus ou moins étendus, comprenant toujours, malgré leur extrême petitesse, un nombre infini de pointé fféométriqueê. La coïncidence de deux lignes, le long d'un élément, même réduit au-dessous de toute grandeur imaginable , impliquerait leur parfaite identité dans toute leur étendue ; car deux lignes ne peuvent jamais avoir qu'un nombre limite de points communs, en rapport avec le nombre de' paramètres de leurs équations. Lors donc qu'on parle d'un élément commun à deux lignes, cela signifie que, dans un calcul de limite, on pourra remplacer une portion infiniment petite d'une de ces lignes par h portion correspondante de l'autre.

82. -T-. Passons à la recherche du cercle osculatettr d'une courbe donnée AB (fig. 16).

D'après ce que nous avons dit au commencement de ce chapitre, le cercle a trois points consécutifs communs avec la courbe, à partir du point, de contact M. Si donc nous donnons à x des accroissements égaux PP', P'P", les points correspondants M', M" de la courbe appartiendront au cercle en même temps que le point M. Le. centre C sera déterminé par la rencontre des perpendiculaires IC, rC, menées respectivement par Je milieu des éléments MM', M' M". La valeur d(| rayon s'en$uit

MÉTHODE INFmTÉStHALE. 227

nécessairement} car la figure ICI' étant un secteur circulaire, le rayon est égal & l'arc divisé par l'angle aa centre :

donc IC ou R a pour expression

ai'C I r

Mais ir est

angle ICI"

égal à la demi-somme de MM' + M'M", ou à la demisomme de 2ds, ou à di. Quant à l'angle ICI', il est égal à l'angle MC M', ou à l'angle formé par les deux tangentes menées en M et M', ou enfin à la difTérentielIc dV de l'angle formé par la tangente avec l'axe des abscisses. II vient en conséquence :

1 — ^- &~ds '

expression dans laquelle il n'y a plus qu'à remplacer dY et dt par leurs valeurs connues.

En se reportant aux chapitres précédents, on recon- .natt sans peine : 1*" que la forniule est identique à celle trouvée au n° 73; 2* que la manière même de trouver ce rayon , dans la présente méthode, montre clairement son identité avec le rayon de courbure, puisqu'on exprime qu'il est égal à un arc infiniment petit de la courbe divisé par l'angle des tangentes menées aux extrémités de cet arc.

La même construction apprend encore que le centre du cercle osculateur peut être considéré comme déterminé par l'intersection de deux normales infiniment voisines de la courbe ; ce qui signifie que deux normales étant menées à deux points de la courbe, et ces normales étant ensuite rapprochées de plus en plus , leur point de rencontre tend à passer par le centre du cercle osculateur.

La marche que nous venons de suivre pour résoudre ce problème , et qui nous a conduit très- simplement au résultat, emprunte évidemment toute sa rigueur aux principes déjà démontrés sur les infiniment petits. Nous avons supposé en effet : l*" que les points de la courbe appartenaient au cercle osculateur, ou que l'angle de deux tangentes consécutives de la courbe ne différaient point de l'angle des tangentes correspondantes du cercle ; 2"* que l'arc de la courbe ne différait point de l'arc de la circonférence ; S"* que les accroissements de la longueur de la courbe et de l'angle formé par la tangente avec l'axe des abscisses étaient égaux à leurs différentielles. Ces diverses hypothèses ne seraient pas légitimes, si l'on n'avait pas préalablement établi les ordres comparatifs de grandeur des diverses quantités considérées, et si l'on n'avait pas démontré que deux infiniment petits, dont la différence

MÉTHODE INPINITÉSIMALE. 229

est d'un ordre supérieur, peuvent être substitués l'un à l'autre dans un calcul de limites.

83. — 11 est aisé de voir que le raisonnement ne s'appliquerait plus si, au lieu du cercle osculateur, il s'agissait d'un cercle tangent quelconque. En effet, ce i*aisonnement s'appuie, comme nous venons de le dire, sur ce que l'angle des deux tangentes consécutives de la courbe peut être remplacé par l'angle des tangentes correspondantes du cercle. Or, si nous considérons le triangle infinitésimal ayant pour sommet le point de rencontre des deux tangentes consécutives de la courbe, et pour base la partie de l'ordonnée du second point interceptée par la tangente du premier, cette base est un infiniment petit du second ordre par rapport aux autres côtés du triangle. Par conséquent l'angle des tangentes est un infiniment petit du premier ordre. Si l'on envisage le triangle analogue formé par les tangentes du cercle, la base de ce triangle différera de celle du précédent de toute la partie de l'ordonnée comprise entre la courbe et le cercle. Lorsque le cercle est simplement tangent, cette différence est du second ordre ou de l'ordre de la base elle même; et l'angle des tangentes du cercle diffère de l'angle des tangentes de la courbe par un infiniment petit du même ordre que ces angles. La substitution n'est donc pas possible. Mais lorsque le cercle est osculateur, la portion d'ordonnée comprise entre lui et la courbe est du troisième ordre, d'où il suit que la différence des angles est d'un ordre supérieur à l'ordre de ces angles eux-mêmes. Dès lors ils peuvent être remplacés l'un par l'autre ; et c'est ce qu'implique la démonstration précédente.

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Cette distinction entre les conclusions qu'on peut tirer, selon qu'on est en présence d'un cercle osculateur ou d'un cercle simplement tangent, nous montre l'attention qu'il fiiut apporter à se servir de la méthode d'assimilation. On doit être en garde contre le danger de s'appuyer sur de fausses assimilations, dans le cours du raisonnement, et on n'y échsyppe qu'en ayant toujours présent à l'esprit l'ordre de grandeur des divers infiniment petits auxquels on a affaire.